Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Cuestión 4B.

Un avión tiene capacidad para 260 pasajeros. Sin embargo, la compañía aérea ha vendido para un día 280 billetes. La compañía sabe que el 95 % de los que compran un billete se presenta en el aeropuerto el día correspondiente. Consideramos el número de pasajeros que se presentan en el día en el que se vendieron los 280 billetes.

a) [0,5] Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica.
b) [0,75] Calcule la probabilidad de que falten plazas en el avión.
c) [0,5] Calcule la probabilidad de que no falten plazas en el avión.
d) [0,75] Calcule la probabilidad de que ni sobren ni falten plazas en el avión.

Llamamos $X$ al número de pasajeros que, de los 280 que compraron billete, se presentan en el aeropuerto.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,5]}}\mathbf{\text{Diga}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{es,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica.}}$

Hay un número fijo de pruebas independientes, cada una con dos resultados y probabilidad de éxito constante, luego se trata de una binomial.

$X\sim B(280;\mathrm{0,95})$

$\mu =np=280\cdot \mathrm{0,95}=266\text{ pasajeros}$

$\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{280\cdot \mathrm{0,95}\cdot \mathrm{0,05}}=\sqrt{\mathrm{13,3}}\approx \mathrm{3,65}\text{ pasajeros}$

Como $np=266$ y $nq=14$ son ambos mayores que 5, en los apartados siguientes la aproximamos por una normal de esos mismos parámetros, $X\approx N(266;\mathrm{3,65})$, con corrección de continuidad.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{falten}}\mathbf{\text{plazas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{avi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Faltan plazas cuando se presentan más pasajeros que los 260 asientos, esto es, cuando $X\ge 261$. Al pasar a la variable continua el corte se sitúa medio punto por debajo.

$P(X\ge 261)=P(X>\mathrm{260,5})=P(Z>{\displaystyle \frac{\mathrm{260,5}-266}{\mathrm{3,65}}})$

$=P(Z>-\mathrm{1,51})=P(Z<\mathrm{1,51})=\mathrm{0,9345}$

La probabilidad de que falten plazas es de $\mathrm{0,9345}$: con esta sobreventa el avión se queda corto en más del $93\mathrm{\%}$ de los días.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,5]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{falten}}\mathbf{\text{plazas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{avi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Es el suceso contrario del anterior, así que basta restar de la unidad.

$P(X\le 260)=1-P(X\ge 261)=1-\mathrm{0,9345}=\mathrm{0,0655}$

Solo en un $\mathrm{6,55}\mathrm{\%}$ de los días caben todos los que se presentan.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{[0,75]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ni}}\mathbf{\text{sobren}}\mathbf{\text{ni}}\mathbf{\text{falten}}\mathbf{\text{plazas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{avi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

El avión va exactamente lleno cuando se presentan 260 pasajeros. Con la corrección de continuidad, ese valor entero se traduce en la franja $(\mathrm{259,5};\mathrm{260,5})$.

$z_1={\displaystyle \frac{\mathrm{259,5}-266}{\mathrm{3,65}}}\approx -\mathrm{1,78},z_2={\displaystyle \frac{\mathrm{260,5}-266}{\mathrm{3,65}}}\approx -\mathrm{1,51}$

Llevamos el intervalo al semieje positivo por simetría y restamos las dos áreas acumuladas:

$P(X=260)=P(\mathrm{1,51}<Z<\mathrm{1,78})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,78})-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,51})$

$=\mathrm{0,9625}-\mathrm{0,9345}=\mathrm{0,0280}$

La probabilidad de que el avión salga exactamente lleno es de solo $\mathrm{0,0280}$, un $\mathrm{2,8}\mathrm{\%}$.