Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

En un examen tipo test de 10 preguntas, cada pregunta tiene para elegir 4 respuestas, de las cuales solo una es correcta. Si se responde al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de fallar todas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de acertar 7 exactamente?

c) Para aprobar se deben responder al menos 7 bien. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar?

Sea $X$ el número de preguntas acertadas. Cada pregunta se acierta o se falla con independencia de las demás y con la misma probabilidad, $p=\frac{1}{4}$, así que $X$ sigue una distribución binomial

$X\sim B(10,\frac{1}{4})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fallar}}\mathbf{\text{todas?}}$

Fallar las diez es el suceso $X=0$:

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{0}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^0{\left(\frac{3}{4}\right)}^{10}={\left(\frac{3}{4}\right)}^{10}={\displaystyle \frac{59049}{1048576}}\approx \mathrm{0,0563}$

La probabilidad de fallar las diez preguntas es de $\mathrm{0,0563}$, es decir, alrededor del $\mathrm{5,6}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{acertar}}\mathbf{\text{7}}\mathbf{\text{exactamente?}}$

$P(X=7)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{7}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^7{\left(\frac{3}{4}\right)}^3=120\cdot {\displaystyle \frac{1}{16384}}\cdot {\displaystyle \frac{27}{64}}={\displaystyle \frac{405}{131072}}\approx \mathrm{0,0031}$

La probabilidad de acertar exactamente siete preguntas es de $\mathrm{0,0031}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{aprobar}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{responder}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{7}}\mathbf{\text{bien.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aprobar?}}$

Aprobar es el suceso $X\ge 7$, que reúne cuatro casos:

$P(X\ge 7)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)$

$P(X=8)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{8}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^8{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=45\cdot {\displaystyle \frac{1}{65536}}\cdot {\displaystyle \frac{9}{16}}={\displaystyle \frac{405}{1048576}}$

$P(X=9)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{9}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^9\left(\frac{3}{4}\right)=10\cdot {\displaystyle \frac{1}{262144}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{15}{524288}}$

$P(X=10)={\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}={\displaystyle \frac{1}{1048576}}$

Sumando las cuatro con denominador común:

$P(X\ge 7)={\displaystyle \frac{3240+405+30+1}{1048576}}={\displaystyle \frac{3676}{1048576}}={\displaystyle \frac{919}{262144}}\approx \mathrm{0,0035}$

Respondiendo al azar, la probabilidad de aprobar es de $\mathrm{0,0035}$: apenas 35 de cada diez mil intentos.