Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Una inspectora de sanidad sabe que el 5 % de los restaurantes no pasará una inspección. Si elige 8 restaurantes al azar, calcule:

a) [0,75 puntos] La probabilidad de que tres restaurantes no pasen la inspección.

b) [0,75 puntos] La probabilidad de que todos los restaurantes pasen la inspección.

c) [1 punto] La probabilidad de que al menos dos restaurantes pasen la inspección.

Llamamos $X$ al número de restaurantes que no pasan la inspección de los ocho elegidos. Cada restaurante la pasa o no la pasa con la misma probabilidad y de forma independiente, así que se trata de una distribución binomial.

$X\sim B(n,p)=B(8;\mathrm{0,05})$

Los valores se leen en la tabla de la binomial que acompaña al examen, en la columna $p=\mathrm{0,05}$ de la fila $n=8$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{restaurantes}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{pasen}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inspecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

$P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{3}\right){\mathrm{0,05}}^3{\mathrm{0,95}}^5=\mathrm{0,0054}$

La probabilidad de que tres de los ocho restaurantes no pasen la inspección es $\mathrm{0,0054}$, es decir, un $\mathrm{0,54}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{restaurantes}}\mathbf{\text{pasen}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inspecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Que todos la pasen equivale a que ninguno la suspenda.

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{0}\right){\mathrm{0,05}}^0{\mathrm{0,95}}^8=\mathrm{0,6634}$

La probabilidad de que los ocho restaurantes pasen la inspección es $\mathrm{0,6634}$, es decir, un $\mathrm{66,34}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{restaurantes}}\mathbf{\text{pasen}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inspecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Llamamos $Y$ al número de restaurantes que sí pasan la inspección, de modo que $Y=8-X$. Que al menos dos la pasen es el suceso contrario de que la pasen uno o ninguno, es decir, de que la suspendan siete u ocho.

$P(Y\ge 2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-P(X=8)-P(X=7)$

$P(X=8)={\mathrm{0,05}}^8\approx 0,P(X=7)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{7}\right){\mathrm{0,05}}^7\mathrm{0,95}\approx 0$

$P(Y\ge 2)=1-\mathrm{0,0000}-\mathrm{0,0000}=1$

Los dos sumandos son nulos hasta la cuarta cifra decimal de la tabla, de modo que la probabilidad de que al menos dos restaurantes pasen la inspección es prácticamente $1$: con un $5\mathrm{\%}$ de suspensos es casi imposible que siete u ocho de los ocho fallen a la vez.