Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

La playa de Famara (Lanzarote) es muy famosa por la calidad de sus olas para la realización de Surf. La academia de surf "FaMa-t-Surf" ofrece cursos para quienes quieren iniciarse en este deporte y garantiza que, tras sus sesiones de formación, un surfista principiante surfeará la ola con un 70% de posibilidades.

a) Se elige al azar un surfista que ha seguido las clases de esta academia. Si intenta surfear 5 olas, ¿cuál es la probabilidad de que logre surfear alguna de ellas? [1,25 puntos]

b) Para contratar un nuevo monitor se evalúa a un surfista experimentado que tiene un 90% de probabilidad de surfear una ola. Se contrata si logra surfear al menos 14 de 15 olas, ¿cuál es la probabilidad de que consiga el puesto? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{surfista}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{seguido}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{clases}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{academia.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{intenta}}\mathbf{\text{surfear}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{olas,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{logre}}\mathbf{\text{surfear}}\mathbf{\text{alguna}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellas?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $X$ al número de olas surfeadas de las cinco intentadas. Cada intento se salda con éxito o fracaso, siempre con la misma probabilidad y con independencia de los demás, de modo que:

$X\sim B(n,p)=B(5;\mathrm{0,7})$

Surfear alguna ola es el suceso contrario de no surfear ninguna, y calcularlo por el contrario ahorra sumar cinco términos.

$P(X\ge 1)=1-P(X=0)$

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{0}\right){\mathrm{0,7}}^0\cdot {\mathrm{0,3}}^5={\mathrm{0,3}}^5=\mathrm{0,00243}$

$P(X\ge 1)=1-\mathrm{0,00243}=\mathrm{0,99757}$

La probabilidad de que el surfista logre surfear alguna de las cinco olas es $\mathrm{0,99757}$, esto es, un $\mathrm{99,76}\mathrm{\%}$: es casi seguro que consiga al menos una.



Ahora la variable $Y$ cuenta las olas surfeadas de las quince intentadas, con probabilidad de éxito $\mathrm{0,9}$ en cada una.

$Y\sim B(15;\mathrm{0,9})$

Conseguir el puesto significa surfear 14 o 15 olas, dos sucesos incompatibles cuyas probabilidades se suman.

$P(Y\ge 14)=P(Y=14)+P(Y=15)$

$P(Y=14)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{15}{14}\right){\mathrm{0,9}}^{14}\cdot {\mathrm{0,1}}^1=15\cdot \mathrm{0,2288}\cdot \mathrm{0,1}=\mathrm{0,3432}$

$P(Y=15)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{15}{15}\right){\mathrm{0,9}}^{15}=\mathrm{0,2059}$

$P(Y\ge 14)=\mathrm{0,3432}+\mathrm{0,2059}=\mathrm{0,5490}$

La probabilidad de que el surfista experimentado consiga el puesto de monitor es $\mathrm{0,5490}$, un $\mathrm{54,90}\mathrm{\%}$: poco más que echarlo a suertes, pese a lo exigente que parece la prueba.