Examen de Matemáticas II de Aragón 2023 (convocatoria extraordinaria)

Dada la siguiente función

$f(x)=(e^{ax}+b)x-e,a,b\in \mathbb{R},a\mathrm{\ne }0$

a) Calcule los valores de $a$ y $b$, sabiendo que dicha función tiene un extremo relativo en $x=0$ y un punto de inflexión en $x=2$. [1 punto]

b) Para los valores $a=1$ y $b=2$, calcule ${\displaystyle \int xf(x)dx}$. [1 punto]

Calcule el valor del parámetro $a\in \mathbb{R}$ para que el siguiente límite sea finito y calcule el valor de dicho límite

$L={\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+1)-a\mathrm{sen}(x)+3x\cos (2x)}{x^2}}$

[2 puntos]

Descomponga el número $\sqrt{3}$ en dos sumandos positivos, de forma que la suma de sus respectivos logaritmos en base 3 sea máxima, y calcule esta suma de forma exacta. [2 puntos]

Para la siguiente función

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x^2-2x+1}}$

a) Indique el dominio de definición y estudie su monotonía. [1 punto]

b) Estudie la curvatura de la función (concavidad $=\cap$ y convexidad $=\cup$) y la existencia de puntos de inflexión, y calcúlelos si existen. [1 punto]

Dada la siguiente matriz:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& m\\ 2& m& m+2\\ m-1& 2& 1\end{array}\right)$

a) Discuta el rango de la matriz $A$ según los valores de $m\in \mathbb{R}$. [1 punto]

b) Calcule la inversa de la matriz $A$ para el valor $m=1$. [1 punto]

Sabiendo que $\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 0& 5\\ a& b& c\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}$, calcule razonadamente el determinante de la matriz

$A={\left(\begin{array}{ccc}4a+2& 4b+4& 4c+6\\ 3a& 3b& 3c\\ a+4& b& c+5\end{array}\right)}^2$

[2 puntos]

Una ONG aragonesa de reciente creación tiene tres sedes, una en Huesca, otra en Zaragoza y otra en Teruel. El número total de voluntarios es de 31. Para que Huesca y Zaragoza tuvieran el mismo número de voluntarios tendrían que trasladarse 3 de Huesca a Zaragoza. Además, el número de los voluntarios de la sede de Huesca excede en 1 a la suma de los voluntarios de las otras dos sedes. ¿Cuántos voluntarios hay en cada una de las tres sedes? [2 puntos]

Si los vectores $\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ son linealmente independientes,

a) Compruebe si los vectores $\{\vec{r},\vec{s},\vec{t}\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo

$\vec{r}=\vec{u}-\vec{v}-2\vec{w},\vec{s}=\vec{u}+3\vec{w},\vec{t}=2\vec{u}-\vec{v}+\vec{w}$

[1,2 puntos]

b) Calcule razonadamente $3\vec{s}\times (\vec{t}-\vec{r})$, donde $\times$ representa el producto vectorial de dos vectores. [0,8 puntos]

De los turistas que llegaron a España el mes pasado, el 35 % visitaron Aragón. Seleccionamos al azar y de manera independiente 7 turistas que llegaron a España el mes pasado.

a) Razone, sin hacer uso de la calculadora: ¿qué es más probable, que 2 de estos turistas visitaran Aragón, o que sean 5 los que visitaron nuestra Comunidad Autónoma? [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que alguno de los 7 turistas haya visitado Aragón. [1 punto]

En el club deportivo Ares se juegan tres modalidades de raqueta: pádel, tenis y frontón-tenis. Cada socio del club solo puede apuntarse a una única modalidad. El 60 % se apuntó a pádel, el 25 % a tenis y el 15 % a frontón-tenis. En los campeonatos anuales entre clubes deportivos participaron todos los socios del club Ares, de los cuales han conseguido medalla el 21 % de los jugadores de pádel, el 30 % de los jugadores de tenis y el 12 % de los jugadores de frontón-tenis.

a) Calcule la probabilidad de que un jugador de raqueta del club, seleccionado al azar, haya obtenido una medalla. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que un jugador con medalla, seleccionado al azar, sea jugador de la modalidad tenis. [1 punto]