Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule el valor del parámetro $a\in \mathbb{R}$ para que el siguiente límite sea finito y calcule el valor de dicho límite

$L={\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+1)-a\mathrm{sen}(x)+3x\cos (2x)}{x^2}}$

[2 puntos]

Al sustituir, numerador y denominador se anulan: $\ln 1-a\mathrm{sen}0+0=0$ y $0^2=0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$, que se resuelve aplicando la regla de L'Hôpital tantas veces como haga falta. La condición de que el límite sea finito aparecerá tras la primera aplicación.

$L={\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln (x+1)-a\mathrm{sen}(x)+3x\cos (2x)}{x^2}}={\displaystyle \frac{0}{0}}}$

Derivamos numerador y denominador por separado. En el tercer sumando hay que aplicar la regla del producto:

${[\ln (x+1)-a\mathrm{sen}x+3x\cos (2x)]}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{x+1}}-a\cos x+3\cos (2x)-6x\mathrm{sen}(2x)$

$L={\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\frac{1}{x+1}-a\cos x+3\cos (2x)-6x\mathrm{sen}(2x)}{2x}}}$

El denominador tiende a cero. Si el numerador no tendiera también a cero, el cociente se iría a infinito y el límite no sería finito; esa es justamente la condición que determina el parámetro.

${\displaystyle \frac{1}{0+1}}-a\cos 0+3\cos 0-0=1-a+3=4-a$

$4-a=0\Rightarrow a=4$

Con $a=4$ vuelve a aparecer la indeterminación $\frac{0}{0}$ y se aplica L'Hôpital por segunda vez.

${[{\displaystyle \frac{1}{x+1}}-4\cos x+3\cos (2x)-6x\mathrm{sen}(2x)]}^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{(x+1{)}^2}}+4\mathrm{sen}x-6\mathrm{sen}(2x)-6\mathrm{sen}(2x)-12x\cos (2x)$

$L={\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{-\frac{1}{(x+1{)}^2}+4\mathrm{sen}x-12\mathrm{sen}(2x)-12x\cos (2x)}{2}}={\displaystyle \frac{-1+0-0-0}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}}$

El límite es finito únicamente para $a=4$, y en ese caso vale $L=-\frac{1}{2}$.