Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule el valor de $a\in \mathbb{R}$ (con $a\mathrm{\ne }0$) para que se verifique el siguiente límite

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{(1-{\mathrm{sen}}^2(x))}^{\frac{a}{x^2}}=2}$

[2 puntos]

La base tiende a 1 y el exponente a infinito, así que aparece la indeterminación $1^{\mathrm{\infty }}$. Se resuelve con la fórmula asociada al número $e$: el límite es $e$ elevado al límite del producto del exponente por la base menos uno.

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{(1-{\mathrm{sen}}^2(x))}^{\frac{a}{x^2}}=e^{\mathrm{\Lambda }},\mathrm{\Lambda }=\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{a}{x^2}}[(1-{\mathrm{sen}}^2(x))-1]}$

$\mathrm{\Lambda }={\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{a}{x^2}}(-{\mathrm{sen}}^2(x))=-a\underset{x\to 0}{\lim }{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{x}}\right)}^2}$

El límite que queda es el cuadrado de un límite tipo, que vale 1:

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{x}}=1\Rightarrow \mathrm{\Lambda }=-a\cdot 1^2=-a}$

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{(1-{\mathrm{sen}}^2(x))}^{\frac{a}{x^2}}=e^{-a}}$

Imponemos ahora la condición del enunciado y despejamos tomando logaritmos neperianos:

$e^{-a}=2\Rightarrow -a=\ln 2\Rightarrow a=-\ln 2\approx -\mathrm{0,6931}$

El valor obtenido es distinto de cero, como exige el enunciado. El valor pedido es $a=-\ln 2$.