Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcula ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{\mathrm{sen}(x)}-e^x}{1-\cos (x)}\mathrm{.}}$ [2 puntos]

Al sustituir directamente, el numerador vale $e^0-e^0=0$ y el denominador $1-\cos (0)=0$, de modo que aparece una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando numerador y denominador por separado.

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^{\mathrm{sen}(x)}-e^x}{1-\cos (x)}}={\displaystyle \frac{0}{0}}}$

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^{\mathrm{sen}(x)}-e^x}{1-\cos (x)}}=\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\cos (x)e^{\mathrm{sen}(x)}-e^x}{\mathrm{sen}(x)}}}$

Volvemos a sustituir y comprobamos que la indeterminación persiste:

${\displaystyle \frac{\cos (0)e^{\mathrm{sen}(0)}-e^0}{\mathrm{sen}(0)}}={\displaystyle \frac{1\cdot 1-1}{0}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$

Como se mantiene el tipo $\frac{0}{0}$, aplicamos la regla una segunda vez. El numerador se deriva con la regla del producto y la regla de la cadena:

${\displaystyle \frac{d}{dx}}[\cos (x)e^{\mathrm{sen}(x)}-e^x]=-\mathrm{sen}(x)e^{\mathrm{sen}(x)}+{\cos }^2(x)e^{\mathrm{sen}(x)}-e^x$

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\cos (x)e^{\mathrm{sen}(x)}-e^x}{\mathrm{sen}(x)}}=\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{-\mathrm{sen}(x)e^{\mathrm{sen}(x)}+{\cos }^2(x)e^{\mathrm{sen}(x)}-e^x}{\cos (x)}}}$

Ahora el denominador ya no se anula y basta sustituir:

${\displaystyle \frac{-0\cdot 1+1\cdot 1-1}{1}}={\displaystyle \frac{0}{1}}=0$

El límite pedido vale 0.