Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Considere la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin (x)& \text{si }x\le \pi \mathrm{/}2\\ {\displaystyle \frac{2}{x}}+a& \text{si }x>\pi \mathrm{/}2\end{array}$, siendo $a$ un parámetro real.

a) Halle $a$ para que $f(x)$ sea continua. [0,5 puntos]

b) Calcule ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)$. [0,5 puntos]

c) Halle una primitiva de $f(x)$ para $x\le \pi \mathrm{/}2$. [0,5 puntos]

d) Calcule el área de la región limitada por la función $y=f(x)$, las rectas $x=0$, $x=\pi \mathrm{/}2$, y el eje $OX$ de abscisas. [1 punto]

Cada rama es continua por separado —un seno y una racional cuyo denominador no se anula en el tramo—, de modo que el único punto que hay que estudiar es el de empalme. Igualamos los dos límites laterales.

${\lim }_{x\to (\pi \mathrm{/}2{)}^{-}}\mathrm{sen}x=\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=1$

${\lim }_{x\to (\pi \mathrm{/}2{)}^{+}}({\displaystyle \frac{2}{x}}+a)={\displaystyle \frac{2}{\pi \mathrm{/}2}}+a={\displaystyle \frac{4}{\pi }}+a$

${\displaystyle \frac{4}{\pi }}+a=1\Rightarrow a=1-{\displaystyle \frac{4}{\pi }}\approx -\mathrm{0,2732}$



Para $x$ grande manda la segunda rama, y el primer sumando se anula.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}({\displaystyle \frac{2}{x}}+a)=0+a=1-{\displaystyle \frac{4}{\pi }}\approx -\mathrm{0,2732}$

La función tiene, pues, la asíntota horizontal $y=1-{\displaystyle \frac{4}{\pi }}$ por la derecha.



En ese tramo la función es el seno, cuya integral es inmediata.

$\int \mathrm{sen}xdx=-\cos x+C$

Una primitiva de $f$ en $x\le \pi \mathrm{/}2$ es $F(x)=-\cos x$.



Todo el intervalo cae en el primer tramo, donde $f(x)=\mathrm{sen}x\ge 0$, de modo que el recinto queda por encima del eje y el área es directamente la integral definida.

$A={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\mathrm{sen}xdx={[-\cos x]}_0^{\pi \mathrm{/}2}$

Aplicando la regla de Barrow:

$A=-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\cos 0=0+1=1$



El área de la región es de $1$ unidad de área.