Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule el siguiente límite:

${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }{(\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{2}x\right))}^{\frac{1}{(1-x{)}^2}}}$

[2 puntos]

La base tiende a $\mathrm{sen}\frac{\pi }{2}=1$ y el exponente a $+\mathrm{\infty }$, así que se trata de la indeterminación $1^{\mathrm{\infty }}$. Se resuelve con la fórmula asociada al número $e$.

${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }{(\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}x\right))}^{\frac{1}{(1-x{)}^2}}=e^{\mathrm{\Lambda }},\mathrm{\Lambda }=\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{2}x\right)-1}{(1-x{)}^2}}}$

El límite que queda es del tipo $\frac{0}{0}$. Aplicamos la regla de L'Hôpital:

$\mathrm{\Lambda }={\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{\frac{\pi }{2}\cos \left(\frac{\pi }{2}x\right)}{-2(1-x)}}={\displaystyle \frac{0}{0}}}$

Vuelve a aparecer la indeterminación, así que se deriva otra vez:

$\mathrm{\Lambda }={\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{-\frac{{\pi }^2}{4}\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{2}x\right)}{2}}={\displaystyle \frac{-\frac{{\pi }^2}{4}\cdot 1}{2}}=-{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{8}}}$

${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }{(\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}x\right))}^{\frac{1}{(1-x{)}^2}}=e^{-\frac{{\pi }^2}{8}}\approx \mathrm{0,2912}}$

El límite pedido vale $e^{-{\pi }^2\mathrm{/}8}\approx \mathrm{0,2912}$.