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Examen de Matemáticas II de Aragón 2021 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Aragón, convocatoria extraordinaria de 2021. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Integrales y Áreas

Dada la siguiente función

f (x) = {\begin{cases} 5 - a x^{2} & si x \leq 1 \\ \frac{6}{a x} & si x > 1 \end{cases} a \in R, a \neq 0

a) Calcule los valores de

a \in R

para que la función

f (x)

sea continua. [1 punto]

b) Determine justificadamente para qué valor de los anteriores se verifica que el área encerrada por la función

f (x)

, el eje

O X

y las rectas

x = 0

x = e

sea

6 u^{2}

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Límites y continuidad

Calcule el siguiente límite:

\lim_{x \to 1} {(sen (\frac{π}{2} x))}^{\frac{1}{(1 - x)^{2}}}

[2 puntos]

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Ejercicio 3: Optimización

Se desea construir un depósito con forma de prisma regular de base cuadrada. Además, el depósito es abierto (sin tapa superior). La capacidad total debe ser de

64 m^{3}

. El material de construcción de los laterales tiene un precio de 70 euros por

m^{2}

, mientras que el de la base, más resistente, es de 140 euros por

m^{2}

. Halle las dimensiones del depósito para que tenga el menor coste posible. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Límites y continuidad

Para la siguiente función

f (x) = \frac{e^{x}}{x^{3} - x}

a) Estudie la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Calcúlelas cuando existan. [1,25 puntos]

b) Calcule la recta tangente a la curva en el punto

x = 2

. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

Dada la siguiente matriz:

P = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & - k & - 2 k \\ 1 & - k & 0 \end{array})

a) Estudie el rango de la matriz

A = I + P

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3, según los valores de

k \in R

. [1 punto]

b) Para

k = 1

, calcule la inversa de la matriz

A

del apartado anterior. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Matrices

Dadas las siguientes matrices:

B = (\begin{array}{ccc} 3 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array}), C_{1} = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}), C_{2} = (\begin{array}{ccc} - 1 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{array})

a) Compruebe que la matriz

B

tiene inversa y calcúlela. [1 punto]

b) Calcule la matriz

X

que verifica la siguiente ecuación matricial:

I + B X = C_{1} C_{2}

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Sistemas de ecuaciones

Dado el siguiente sistema:

{\begin{cases} 3 x - y + 2 z = 1 \\ x + 4 y + z = 3 \\ 2 x - 5 y + a z = - 2 \end{cases}

a) Discuta según los valores de

a \in R

qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones. [1 punto]

b) Resuelva el sistema para

a = 0

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Rectas y Planos

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto

(1, - 2, 0)

y es perpendicular al plano determinado por los puntos

(1, 0, 1)

(3, 1, 0)

(2, - 1, 1)

. Exprésela como intersección de dos planos. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Probabilidad

En un departamento de calidad se analiza el funcionamiento del software del motor de vehículos eléctricos e híbridos. Se revisaron 85 coches eléctricos y 145 coches híbridos. En total, 43 coches tenían errores en el software de sus motores. Además, de los motores con software defectuoso, 12 correspondían a coches eléctricos.

a) Calcule la probabilidad de que un coche revisado seleccionado al azar sea híbrido y presente el software de su motor correcto. [0,8 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que un coche híbrido seleccionado al azar tenga defectuoso el software del motor. [1,2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución binomial

Uno de cada 7 deportistas de la selección española de gimnasia deportiva será elegido para las próximas olimpiadas. Se escogen aleatoriamente y de modo independiente 9 deportistas de dicha selección española.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean elegidos exactamente 2 de estos 9 deportistas para las próximas olimpiadas? [0,8 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que alguno (al menos 1) de estos 9 deportistas sea elegido para las próximas olimpiadas? [1,2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 10