Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2021

Se desea construir un depósito con forma de prisma regular de base cuadrada. Además, el depósito es abierto (sin tapa superior). La capacidad total debe ser de $64{\text{m}}^3$. El material de construcción de los laterales tiene un precio de 70 euros por ${\text{m}}^2$, mientras que el de la base, más resistente, es de 140 euros por ${\text{m}}^2$. Halle las dimensiones del depósito para que tenga el menor coste posible. [2 puntos]

Se llaman $x$ al lado de la base cuadrada y $y$ a la altura del depósito, ambos en metros. La capacidad es un dato fijo y sirve para escribir una variable en función de la otra; el coste queda entonces como función de una sola variable y se busca su mínimo.











$V=x^{2}y=64\Rightarrow y={\displaystyle \frac{64}{x^2}}$

El depósito no tiene tapa, de modo que la superficie es la base, $x^2$, más las cuatro caras laterales, $4xy$.

$C=140x^2+70\cdot 4xy=140x^2+280xy$





Sustituimos la altura para dejar el coste en función del lado de la base:

$C(x)=140x^2+280x\cdot {\displaystyle \frac{64}{x^2}}=140x^2+{\displaystyle \frac{17920}{x}},x>0$

Derivamos y anulamos la derivada para localizar los puntos críticos:

$C^{\mathrm{\prime }}(x)=280x-{\displaystyle \frac{17920}{x^2}}$

$C^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 280x={\displaystyle \frac{17920}{x^2}}\Rightarrow x^3={\displaystyle \frac{17920}{280}}=64\Rightarrow x=4$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un mínimo:

$C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=280+{\displaystyle \frac{35840}{x^3}}\Rightarrow C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(4)=280+560=840>0$

La segunda derivada es positiva en todo el dominio, luego en $x=4$ hay un mínimo relativo que, por ser el único extremo, es el mínimo absoluto.

$y={\displaystyle \frac{64}{4^2}}={\displaystyle \frac{64}{16}}=4$

$C(4)=140\cdot 16+{\displaystyle \frac{17920}{4}}=2240+4480=6720$

El depósito más barato es el de base cuadrada de $4$ m de lado y $4$ m de altura, y su coste es de $6720$ euros.