Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2020

Un campo de juego quiere diseñarse de modo que la parte central sea rectangular de base $y$ metros y altura $x$ metros, y las partes laterales sean semicircunferencias (véase el dibujo).



Su superficie se desea que sea de $(4+\pi ){\text{m}}^2$. Se debe pintar el perímetro y las rayas interiores de modo que la cantidad de pintura que se gaste sea mínima (es decir, su longitud total sea mínima). Halle $x$ e $y$ de modo que se verifique este requisito. [2 puntos]

El campo está formado por un rectángulo de base $y$ y altura $x$ y por dos semicírculos apoyados en los lados verticales, de modo que el diámetro de cada uno es $x$ y su radio $\frac{x}{2}$. La superficie es un dato fijo, así que sirve para escribir una variable en función de la otra; la longitud de pintura queda entonces como función de una sola variable y se busca su mínimo.

La superficie del campo es la del rectángulo más la de los dos semicírculos, que juntos forman un círculo completo de radio $\frac{x}{2}$:

$xy+\pi {\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^2=4+\pi \Rightarrow xy+{\displaystyle \frac{\pi x^2}{4}}=4+\pi$

$y={\displaystyle \frac{4+\pi -\frac{\pi x^2}{4}}{x}}$

Lo que se pinta es el contorno del campo —los dos lados horizontales del rectángulo, de longitud $y$ cada uno, y las dos semicircunferencias, que juntas miden $2\pi \frac{x}{2}=\pi x$— más las dos rayas interiores que separan el rectángulo de los semicírculos, de longitud $x$ cada una.

$L=2y+\pi x+2x$

Sustituimos $y$ para dejarlo todo en función de $x$:

$L(x)={\displaystyle \frac{2(4+\pi -\frac{\pi x^2}{4})}{x}}+\pi x+2x={\displaystyle \frac{8+2\pi }{x}}-{\displaystyle \frac{\pi x}{2}}+\pi x+2x$

$L(x)={\displaystyle \frac{8+2\pi }{x}}+({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2)x,x>0$

Derivamos y anulamos la derivada:

$L^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{8+2\pi }{x^2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2$

$L^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{8+2\pi }{x^2}}={\displaystyle \frac{\pi +4}{2}}\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{2(8+2\pi )}{\pi +4}}={\displaystyle \frac{4(4+\pi )}{4+\pi }}=4$

$x=\pm 2\Rightarrow x=2$

Se descarta la solución negativa porque $x$ es una longitud. Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un mínimo:

$L^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2(8+2\pi )}{x^3}}\Rightarrow L^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{16+4\pi }{8}}>0$

La segunda derivada es positiva para todo $x>0$, de modo que en $x=2$ hay un mínimo relativo que, por ser el único extremo, es el mínimo absoluto.

$y={\displaystyle \frac{4+\pi -\frac{\pi \cdot 2^2}{4}}{2}}={\displaystyle \frac{4+\pi -\pi }{2}}=2$

La cantidad de pintura es mínima cuando $x=2$ m e $y=2$ m: la parte central es un cuadrado de 2 m de lado y los semicírculos laterales tienen 1 m de radio. La longitud total pintada es entonces $L(2)=8+2\pi \approx \mathrm{14,28}$ m.