Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2022

Una imprenta debe diseñar un cartel con $90{\text{ cm}}^2$ de área para texto y además, con margen superior 3 cm, inferior 2 cm y márgenes laterales 4 cm cada uno.

a) Realice un dibujo planteando el problema. [0,25 puntos]

b) Calcule las dimensiones (anchura y altura) que debe tener el cartel de manera que se utilice la menor cantidad de papel posible. [2,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{dibujo}}\mathbf{\text{planteando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ a la anchura de la zona de texto e $y$ a su altura. El cartel es ese rectángulo interior más los cuatro márgenes: $3\text{ cm}$ arriba, $2\text{ cm}$ abajo y $4\text{ cm}$ a cada lado.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dimensiones}}\mathbf{\text{(anchura}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{altura)}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cartel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{manera}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{utilice}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{papel}}\mathbf{\text{posible.}}\mathbf{\text{[2,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El papel usado es la superficie total del cartel, que es lo que hay que minimizar. Leyendo las dimensiones en el dibujo:

$S=(x+8)(y+5)$

La condición del enunciado relaciona las dos variables y permite dejar una sola:

$xy=90\Rightarrow y={\displaystyle \frac{90}{x}}$

$S(x)=(x+8)({\displaystyle \frac{90}{x}}+5)=90+5x+{\displaystyle \frac{720}{x}}+40$

$S(x)=5x+130+{\displaystyle \frac{720}{x}},x>0$

Derivamos e igualamos a cero para buscar el mínimo.

$S^{\mathrm{\prime }}(x)=5-{\displaystyle \frac{720}{x^2}}=0\Rightarrow 5x^2=720\Rightarrow x^2=144\Rightarrow x=\pm 12$

Se descarta $x=-12$ por ser una longitud. Comprobamos con la derivada segunda que $x=12$ da mínimo:

$S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1440}{x^3}}\Rightarrow S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(12)={\displaystyle \frac{1440}{1728}}>0$

Como es el único extremo del dominio y la segunda derivada es positiva en todo él, ese mínimo relativo es el mínimo absoluto. La altura de la zona de texto es

$y={\displaystyle \frac{90}{12}}=\mathrm{7,5}\text{ cm}$

y las dimensiones del cartel resultan

$\text{anchura}=x+8=20\text{ cm},\text{altura}=y+5=\mathrm{12,5}\text{ cm}$

El cartel que gasta menos papel mide $20\text{ cm}$ de ancho por $\mathrm{12,5}\text{ cm}$ de alto, con una superficie de $250{\text{cm}}^2$.