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Examen de Matemáticas II de Aragón 2022 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Aragón, convocatoria extraordinaria de 2022. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Integrales y Áreas

Dada la siguiente función:

f (x) = x e^{- a x^{2}}, a \in R

a) Determine los valores de

a \in R

para que la función

f (x)

sea continua en

R

y tenga la asíntota horizontal

y = 0

. [1 punto]

b) Calcule, para el valor

a = \frac{1}{2}

, el área que encierra la gráfica de la curva

f (x)

entre el eje

X

y las rectas

x = 0

x = 1

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Límites y continuidad

Para la siguiente función:

f (x) = \frac{2 x^{3} + a x^{2} + b x + 3}{- x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 2}, a, b \in R

Calcule los valores de

a, b \in R

para que

\lim_{x \to 1} f (x) = L \in R

, y determine el valor de dicho límite. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Integrales y Áreas

Calcule el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones:

f (x) = 3 x + 2 x^{2}, g (x) = x^{2} + 4 x + 2

[2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Funciones

Para la siguiente función:

f (x) = \frac{x^{2} + x}{3 - x^{2}}

a) Estudie la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, así como de ramas parabólicas. Determine las asíntotas cuando existan. [1,25 puntos]

b) Calcule la recta tangente a la función en el punto

x = 1

. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

Dada la siguiente matriz:

A = (\begin{array}{cc} 1 & k \\ - 1 & k + 1 \end{array})

a) Determine el valor de

k \in R

para que se verifique

A^{2} = 3 I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 2. [1 punto]

b) Calcule, para

k = 0

, la matriz

B^{n}

con

B = 2 A - I

, siendo

I

la matriz identidad de orden 2, y

n \in N

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Matrices

Dadas las siguientes matrices:

A = (\begin{array}{cc} 1 - m & - 1 \\ 2 & 2 m \\ m - 1 & 1 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}), C = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

a) Estudie, según los valores de

m \in R

, el rango de la matriz

P = A B^{T} + C

, donde

B^{T}

es la matriz traspuesta de

B

. [1 punto]

b) Para el valor

m = 1

, calcule la inversa de la matriz

P

del apartado anterior. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Sistemas de ecuaciones

Dado el siguiente sistema:

{\begin{cases} x + a y + z = 0 \\ x + y + a^{2} z = 0 \\ x + y + 2 a z = 0 \end{cases}

a) Discuta según los valores de

a \in R

qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible). [1 punto]

b) Resuelva el sistema para

a = 0

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Geometría

El volumen de un tetraedro es de 10 unidades cúbicas. Si tres de sus vértices se encuentran en los puntos

A (1, 1, 1)

B (- 2, 1, 0)

C (0, 1, 3)

, halle las coordenadas del cuarto vértice

D

sabiendo que se encuentra en el eje

Y

. Escriba todas las soluciones posibles. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Probabilidad

En una academia de artes escénicas se imparten clases de danza y teatro. De danza, hay modalidad de danza clásica y cabaret. En la academia, un 17 % de individuos practica danza clásica, un 45 % cabaret y un 5 % ambas modalidades de danza. Si elegimos un individuo que asiste a dicha academia:

a) Calcule la probabilidad de que practique algún tipo de danza (o los dos). [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que practique solamente teatro. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución binomial

De los huevos que se producen diariamente en una granja, deben desecharse el 20 % por no ser aptos para su consumo. Se seleccionan de manera aleatoria e independiente 5 huevos:

a) Calcule la probabilidad de que tengamos que desechar alguno de los huevos seleccionados (al menos 1). [1 punto]

b.1) ¿Qué es más probable, que haya exactamente 2 huevos no aptos, o que haya exactamente 3 huevos no aptos? Obtenga estas probabilidades. [0,5 puntos]

b.2) ¿Cómo razonaría esa respuesta sin hacer uso de la calculadora? [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 10

Examen de Matemáticas II de Aragón 2022 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicio 1: Integrales y Áreas

Ejercicio 2: Límites y continuidad

Ejercicio 3: Integrales y Áreas

Ejercicio 4: Funciones

Ejercicio 5: Matrices

Ejercicio 6: Matrices

Ejercicio 7: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio 8: Geometría

Ejercicio 9: Probabilidad

Ejercicio 10: Distribución binomial

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