Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Para la siguiente función:

$f(x)={\displaystyle \frac{2x^3+a{x}^2+bx+3}{-x^3+4x^2-5x+2}},a,b\in \mathbb{R}$

Calcule los valores de $a,b\in \mathbb{R}$ para que ${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }f(x)=L\in \mathbb{R}}$, y determine el valor de dicho límite. [2 puntos]

Al sustituir $x=1$ el denominador se anula, así que para que el límite sea finito el numerador tiene que anularse también, y hacerlo con la misma multiplicidad. Lo primero es, por tanto, factorizar el denominador.

$-1+4-5+2=0\Rightarrow x=1\text{es ra}\acute{\text{ı}}\text{z del denominador}$

Dividiendo por $(x-1)$ y factorizando el cociente:

$-x^3+4x^2-5x+2=-(x^3-4x^2+5x-2)=-(x-1{)}^2(x-2)$

La raíz $x=1$ es doble. Para que el límite sea finito, el numerador debe ser divisible por $(x-1{)}^2$, lo que equivale a que se anulen en $x=1$ tanto el numerador como su derivada.

$N(x)=2x^3+a{x}^2+bx+3;N^{\mathrm{\prime }}(x)=6x^2+2ax+b$

$N(1)=2+a+b+3=0\Rightarrow a+b=-5$

$N^{\mathrm{\prime }}(1)=6+2a+b=0\Rightarrow 2a+b=-6$

Restando la primera ecuación de la segunda:

$a=-1\Rightarrow b=-5-a=-4$

Con esos valores el numerador es $N(x)=2x^3-x^2-4x+3$, y al dividirlo por $(x-1{)}^2$ queda:

$2x^3-x^2-4x+3=(x-1{)}^2(2x+3)$

Ya se puede simplificar el cociente y calcular el límite:

$L={\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{(x-1{)}^2(2x+3)}{-(x-1{)}^2(x-2)}}=\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{2x+3}{-(x-2)}}={\displaystyle \frac{5}{-(-1)}}=5}$

Los valores pedidos son $a=-1$ y $b=-4$, y con ellos el límite vale $L=5$.