Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la siguiente función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+bx+2& x\le 0\\ {\displaystyle \frac{\ln (x+1)}{ax}}& x>0\end{array}a,b\in \mathbb{R},a,b\mathrm{\ne }0$

a) Determine los valores de $a,b\in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$. [1 punto]

b) Calcule aquellos valores que además hacen que la función $f(x)$ tenga un extremo relativo en el punto $x=-1$, y determine el tipo de extremo que es. [1 punto]

En el tramo $x<0$ la función es un polinomio, continuo siempre. En el tramo $x>0$ es un cociente cuyo numerador está definido porque $x+1>0$ y cuyo denominador no se anula, ya que $a\mathrm{\ne }0$ y $x>0$. El único punto que puede dar problemas es el de empalme.

$f(0)=0^3+b\cdot 0+2=2$

${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{\lim }(x^3+bx+2)=2}$

Por la derecha aparece una indeterminación $\frac{0}{0}$, que se resuelve con la regla de L'Hôpital:

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln (x+1)}{ax}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{\frac{1}{x+1}}{a}}={\displaystyle \frac{1}{a}}}$

El parámetro $b$ no interviene en ninguno de los dos límites, así que la continuidad solo depende de $a$:

${\displaystyle \frac{1}{a}}=2\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{2}}$

La función es continua en $\mathbb{R}$ para $a=\frac{1}{2}$ y cualquier valor de $b$ distinto de cero.



El punto $x=-1$ es negativo, de modo que la función viene dada por la primera rama y la condición solo afecta a $b$; el valor de $a$ sigue siendo el del apartado anterior. La condición necesaria de extremo relativo es que se anule la primera derivada.

$f(x)=x^3+bx+2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+b$

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=3+b=0\Rightarrow b=-3$

El valor obtenido es distinto de cero, como exige el enunciado. Para clasificar el extremo se recurre a la segunda derivada:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=-6<0$

Al ser negativa, se trata de un máximo relativo. Su ordenada es

$f(-1)=(-1{)}^3+(-3)(-1)+2=-1+3+2=4$

Los valores pedidos son $a=\frac{1}{2}$ y $b=-3$, y con ellos la función tiene un máximo relativo en el punto $(-1,4)$.