Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule el siguiente límite

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{2}{\mathrm{tg}(x)}}}$

[2 puntos]

La base tiende a 1 y el exponente a infinito, porque la tangente tiende a cero: es la indeterminación $1^{\mathrm{\infty }}$, que se resuelve con la fórmula asociada al número $e$.

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{2}{\mathrm{tg}(x)}}=e^{\mathrm{\Lambda }},\mathrm{\Lambda }=\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{tg}(x)}}[(1+x)-1]=\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{2x}{\mathrm{tg}(x)}}}$

El límite que queda es del tipo $\frac{0}{0}$. Aplicando la regla de L'Hôpital:

$\mathrm{\Lambda }={\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{{\cos }^2(x)}}}=\underset{x\to 0}{\lim }2{\cos }^2(x)=2\cdot 1=2}$

(También sale de inmediato recordando que ${\lim }_{x\to 0}\frac{\mathrm{tg}x}{x}=1$.)

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{2}{\mathrm{tg}(x)}}=e^2\approx \mathrm{7,3891}}$

El límite pedido vale $e^2$.