Examen de Matemáticas II de Aragón 2024 (convocatoria extraordinaria)

Dada la siguiente función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}a-\cos (x)& x\le 0\\ x^2-b\mathrm{sen}(x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})& x>0\end{array}a,b\in \mathbb{R}$

a) Estudie su continuidad en $\mathbb{R}$ según los valores de $a$ y $b$. [1 punto]

b) Para $a=1$, calcule el valor de $b$ para que, en el punto con $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, la función tenga la recta tangente $y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}x$. [1 punto]

Estudie la existencia del siguiente límite y calcúlelo en caso de existir:

${\displaystyle \underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)\cdot (3x^5+5x^4-7x^3+2x^2-x+3)+2}{3-(x^2-4)\cdot \sqrt{\mathrm{sen}(2x^2)+(\cos (x){)}^2+\log (x+5)}}}$

[2 puntos]

Calcule el área encerrada por las gráficas de las funciones $f(x)=x+6$ y $g(x)=\{\begin{array}{ll}-2x& \text{si }x<0\\ x^2& \text{si }x\ge 0\end{array}$. [2 puntos]

En una cristalería, a un cristal rectangular de 120 centímetros de alto y 70 centímetros de ancho se le ha cortado por error la esquina superior derecha como se ve en el dibujo. Quieren recortar dicho cristal nuevamente de forma rectangular, de modo que la superficie sea la máxima posible haciendo como máximo dos cortes. ¿Cuáles serán las dimensiones del nuevo cristal rectangular recortado? [2 puntos]

De una matriz $B$ sabemos que cumple

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ -7& -8& -9\end{array}\right)\cdot B=I_3-\left(\begin{array}{ccc}10& 11& 12\\ 7& 9& 9\\ -4& -5& -7\end{array}\right)\cdot B$

donde $I_3$ es la matriz identidad de orden 3. Estudie si la matriz $B$ tiene inversa. En caso afirmativo, calcule la inversa de $B$. [2 puntos]

Dadas las siguientes matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& m& m\\ 4& 4& 2m\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 12\end{array}\right),m\in \mathbb{R}$

a) Analice el rango de la matriz $A$ según los valores de $m\in \mathbb{R}$. [1,2 puntos]

b) Resuelva el sistema $A\cdot X=B$ para el valor $m=2$. [0,8 puntos]

En un laboratorio de una empresa farmacéutica se fabrican tres tipos de medicamentos, $M_1$, $M_2$ y $M_3$, a partir de tres principios activos, $A_1$, $A_2$ y $A_3$, distintos. En la siguiente tabla se reflejan los miligramos de principio activo necesarios para fabricar un gramo de cada medicamento:

$$	$\text{mg de }{A}_1$	$\text{mg de }{A}_2$	$\text{mg de }{A}_3$ $\text{para 1 g de }{M}_1$	10	10	20 $\text{para 1 g de }{M}_2$	10	20	30 $\text{para 1 g de }{M}_3$	20	30	50

En dicho laboratorio se dispone actualmente de 70 gramos del activo $A_1$, 90 gramos del activo $A_2$ y 160 gramos del activo $A_3$. Se va a cerrar por vacaciones y la empresa quiere no dejar principios activos en el laboratorio. ¿Es posible utilizar la cantidad total exacta disponible de principios activos del laboratorio fabricando los medicamentos $M_1$, $M_2$ y $M_3$? En caso afirmativo, ¿qué cantidades de cada medicamento podrá fabricar el laboratorio con dichos principios activos? [2 puntos]

Halle la ecuación de un plano que es perpendicular a la recta dada por los planos $\{\begin{array}{l}2x+y-z=0\\ x-y+z=-3\end{array}$ y además pasa por el punto $(3,2,1)$. [2 puntos]

Sean $A(1,2,3)$, $B(1,0,-1)$ y $C(2,2,2)$ tres puntos en el espacio y ${\vec{v}}_1$ el vector que va de $A$ a $B$; ${\vec{v}}_2$ el vector que va de $B$ a $C$ y ${\vec{v}}_3$ el vector que va de $C$ a $A$.

a) Estudie si los vectores ${\vec{v}}_1$, ${\vec{v}}_2$ y ${\vec{v}}_3$ son linealmente independientes. [1 punto]

b) Calcule el área del triángulo cuyos vértices son $A$, $B$ y $C$. [1 punto]

El 84 % de los exámenes de Matemáticas II de la fase genérica en la convocatoria ordinaria de la EvAU en 2022 en Aragón obtuvieron una nota mayor o igual a 5.

a) Si seleccionamos aleatoriamente 15 de aquellos exámenes, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 tengan una nota inferior a 5? [0,8 puntos]

b) Con los 15 exámenes anteriores, ¿es más probable que menos de 2 exámenes tengan nota inferior a 5 o que más de 2 exámenes tengan nota inferior a 5? [1,2 puntos]