Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Halle la ecuación de un plano que es perpendicular a la recta dada por los planos $\{\begin{array}{l}2x+y-z=0\\ x-y+z=-3\end{array}$ y además pasa por el punto $(3,2,1)$. [2 puntos]

La recta viene dada como intersección de dos planos, así que su vector director es perpendicular a las dos normales a la vez: se obtiene con el producto vectorial de ambas. Y como el plano que se busca ha de ser perpendicular a la recta, ese director es precisamente su vector normal.











${\vec{n}}_1=(2,1,-1);{\vec{n}}_2=(1,-1,1)$

${\vec{v}}_r={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 1& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\mid$

${\vec{v}}_r=(1-1)\vec{i}-(2+1)\vec{j}+(-2-1)\vec{k}=(0,-3,-3)$





El vector obtenido puede simplificarse dividiendo por $-3$, porque un vector normal está determinado salvo un factor no nulo:

${\vec{n}}_{\pi }={\vec{v}}_r=(0,-3,-3)\parallel (0,1,1)$

Con la normal ya se puede escribir la ecuación general del plano, en la que solo queda por determinar el término independiente:

$\pi :0\cdot x+1\cdot y+1\cdot z+D=0\Rightarrow \pi :y+z+D=0$

Imponemos que pase por el punto $(3,2,1)$:

$2+1+D=0\Rightarrow D=-3$

Un plano perpendicular a la recta dada que pasa por el punto $(3,2,1)$ es $\pi :y+z-3=0$. Obsérvese que la condición de perpendicularidad fija la dirección del plano pero no su posición, y es el punto el que lo determina de forma única.