Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Calcule la ecuación implícita de la recta (como intersección de dos planos) que pasa por el punto $A=(0,1,1)$ y es paralela a los planos ${\pi }_1$, que contiene los puntos $B_1$, $B_2$ y $B_3$, y ${\pi }_2\equiv x+2z=1$, siendo:

$B_1=(-1,0,2),B_2=(1,3,1),B_3=(2,-1,0)$

[2 puntos]

Una recta paralela a un plano tiene su vector director perpendicular al vector normal de ese plano. Como la recta ha de ser paralela a los dos planos a la vez, su director es perpendicular a las dos normales, y por tanto proporcional a su producto vectorial. El plan es, pues: hallar ${\vec{n}}_1$ y ${\vec{n}}_2$, multiplicarlos vectorialmente y escribir la recta que pasa por $A$ con esa dirección.

i) Vector normal de ${\pi }_1$. Se obtiene con el producto vectorial de dos vectores del plano:

$\overrightarrow{B_1{B}_2}=(1,3,1)-(-1,0,2)=(2,3,-1);\overrightarrow{B_1{B}_3}=(2,-1,0)-(-1,0,2)=(3,-1,-2)$

${\vec{n}}_1=\overrightarrow{B_1{B}_2}\times \overrightarrow{B_1{B}_3}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 3& -1\\ 3& -1& -2\end{array}\mid =(-6-1)\vec{i}-(-4+3)\vec{j}+(-2-9)\vec{k}=(-7,1,-11)$

ii) Vector normal de ${\pi }_2$. Se lee directamente en su ecuación general:

${\pi }_2:x+2z=1\Rightarrow {\vec{n}}_2=(1,0,2)$











iii) Vector director de la recta:

$\vec{v}={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -7& 1& -11\\ 1& 0& 2\end{array}\mid$

$\vec{v}=(2-0)\vec{i}-(-14+11)\vec{j}+(0-1)\vec{k}=(2,3,-1)$





Obsérvese que el director obtenido coincide con $\overrightarrow{B_1{B}_2}$, lo que confirma que la recta es paralela a ${\pi }_1$: su dirección es una de las del plano.

iv) Ecuación de la recta. Con el punto $A(0,1,1)$ y el director $\vec{v}=(2,3,-1)$, la forma continua es

$r:{\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{y-1}{3}}={\displaystyle \frac{z-1}{-1}}$

La ecuación implícita se obtiene igualando por parejas y pasando todo a un miembro. De la primera igualdad:

$3x=2(y-1)\Rightarrow 3x-2y+2=0$

De la segunda:

$-(y-1)=3(z-1)\Rightarrow y+3z-4=0$

Comprobamos que el punto $A(0,1,1)$ verifica las dos ecuaciones: $0-2+2=0$ y $1+3-4=0$.

La recta pedida es $r:\{\begin{array}{l}3x-2y+2=0\\ y+3z-4=0\end{array}$.