Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

a) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta $s$ que pasa por el punto $P(4,-3,0)$ y es perpendicular al plano $\pi \equiv x-2y+z-1=0$. [1 punto]

b) Halla la ecuación del plano que contiene al punto $Q(1,2,3)$ y a la recta

$r\equiv \{\begin{array}{l}x+y+z=1,\\ x-2y=0.\end{array}$

[1,5 puntos]

Una recta perpendicular a un plano lleva la dirección de su vector normal, así que el director de $s$ se lee directamente en los coeficientes de la ecuación del plano.











${\vec{n}}_{\pi }=(1,-2,1)\Rightarrow {\vec{v}}_s=(1,-2,1)$

Con el punto $P(4,-3,0)$ y ese vector director escribimos las paramétricas.





$s:\{\begin{array}{l}x=4+\lambda \\ y=-3-2\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

La recta pedida es la que pasa por $P$ con vector director ${\vec{v}}_s=(1,-2,1)$.



El plano buscado queda determinado por un punto y dos vectores directores. Uno de los directores es el de la recta $r$ y el otro se obtiene uniendo un punto de $r$ con el punto $Q$.

La recta viene dada como intersección de dos planos, así que su vector director es el producto vectorial de las dos normales:

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 1\\ 1& -2& 0\end{array}\mid =(0+2)\vec{i}-(0-1)\vec{j}+(-2-1)\vec{k}=(2,1,-3)$

Para tener un punto de $r$ damos un valor a una incógnita en el sistema que la define. Con $y=0$, la segunda ecuación da $x=0$ y la primera $z=1$:

$R(0,0,1)\in r$

$\overrightarrow{RQ}=(1,2,3)-(0,0,1)=(1,2,2)$

El plano pasa por $R$ y tiene por directores ${\vec{v}}_r$ y $\overrightarrow{RQ}$, luego un punto genérico suyo cumple:

$\sigma :\mid \begin{array}{ccc}x-0& y-0& z-1\\ 2& 1& -3\\ 1& 2& 2\end{array}\mid =0$

$x(2+6)-y(4+3)+(z-1)(4-1)=0$

$8x-7y+3z-3=0$

Comprobamos que el plano contiene lo que debe: el punto $Q$ y la recta $r$.

$Q:8\cdot 1-7\cdot 2+3\cdot 3-3=8-14+9-3=0\mathrm{✓}$

$R:8\cdot 0-7\cdot 0+3\cdot 1-3=0\mathrm{✓}$

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\sigma }=(2,1,-3)\cdot (8,-7,3)=16-7-9=0\mathrm{✓}$

El plano pedido es $\sigma :8x-7y+3z-3=0$.