Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Sean $A=(0,0,0)$, $B=(0,0,1)$, $C=(a,4,1)$ y $D=(a,4,0)$ los vértices consecutivos de un rectángulo en función de una constante $a\ge 0$.

a) Calcule la constante de forma que el área del rectángulo sea $5{\text{ u}}^2$. [1,25 puntos]

b) Calcule las ecuaciones paramétricas de las rectas de los lados del rectángulo para $a=3$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{sea}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">5</mn><msup><mtext> u</mtext><mn\; mathvariant="bold">2</mn></msup></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En un rectángulo dos lados contiguos son perpendiculares, de modo que su área es simplemente el producto de las longitudes de esos dos lados. Tomamos los que salen de $B$ y comprobamos de paso que la figura es de verdad un rectángulo.

$\overrightarrow{AB}=(0,0,1),\overrightarrow{BC}=(a,4,0)$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0\cdot a+0\cdot 4+1\cdot 0=0\Rightarrow \overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=1,\mathrm{\mid }\overrightarrow{BC}\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+16}$

Imponemos que el área valga $5{\text{u}}^2$:

$S=\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\overrightarrow{BC}\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+16}=5$

$a^2+16=25\Rightarrow a^2=9\Rightarrow a=\pm 3$

Se descarta $a=-3$ porque el enunciado exige $a\ge 0$.

La constante buscada es $a=3$.





Con $a=3$ los vértices son $A(0,0,0)$, $B(0,0,1)$, $C(3,4,1)$ y $D(3,4,0)$. Cada lado queda determinado por uno de sus extremos y por el vector que va de ese extremo al otro.

Lado $AB$, con $A(0,0,0)$ y $\overrightarrow{AB}=(0,0,1)$:

$r_{AB}:\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\\ z=\lambda \end{array}$

Lado $BC$, con $B(0,0,1)$ y $\overrightarrow{BC}=(3,4,0)$:

$r_{BC}:\{\begin{array}{l}x=3\lambda \\ y=4\lambda \\ z=1\end{array}$

Lado $CD$, con $C(3,4,1)$ y $\overrightarrow{CD}=(0,0,-1)$:

$r_{CD}:\{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\\ z=1-\lambda \end{array}$

Lado $DA$, con $D(3,4,0)$ y $\overrightarrow{DA}=(-3,-4,0)$:

$r_{DA}:\{\begin{array}{l}x=3-3\lambda \\ y=4-4\lambda \\ z=0\end{array}$

En las cuatro, $\lambda \in \mathbb{R}$. Como cabía esperar, los lados opuestos tienen directores proporcionales: $r_{AB}$ es paralela a $r_{CD}$ y $r_{BC}$ lo es a $r_{DA}$.