Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Considere los planos ${\pi }_1:2x-3y+5z=a$ y ${\pi }_2:bx+3y-5z=4$ en función de los parámetros $a,b\in \mathbb{R}$. Determine si es posible asignar algún valor a los parámetros $a$ y $b$ para que los planos ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$:

a) Sean coincidentes. En caso afirmativo dé un valor para $a$ y $b$. [0,5 puntos]

b) Sean paralelos. En caso afirmativo dé un valor para $a$ y $b$. [1 punto]

c) Se corten en una recta. En caso afirmativo dé un valor para $a$ y $b$. [1 punto]

Las tres posiciones relativas de dos planos se deciden comparando los coeficientes de sus ecuaciones, así que escribimos los dos vectores normales y trabajamos con las proporciones.

${\vec{n}}_1=(2,-3,5),{\vec{n}}_2=(b,3,-5)$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Sean}}\mathbf{\text{coincidentes.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{para}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dos planos son coincidentes cuando las cuatro cantidades de sus ecuaciones son proporcionales, término independiente incluido.

${\displaystyle \frac{2}{b}}={\displaystyle \frac{-3}{3}}={\displaystyle \frac{5}{-5}}={\displaystyle \frac{a}{4}}$

Las dos razones centrales valen ambas $-1$, de modo que la constante de proporcionalidad está obligada a ser $-1$, y de ahí salen los dos parámetros:

${\displaystyle \frac{2}{b}}=-1\Rightarrow b=-2,{\displaystyle \frac{a}{4}}=-1\Rightarrow a=-4$

Sí es posible: con $a=-4$ y $b=-2$ el segundo plano es $-2x+3y-5z=4$, que multiplicado por $-1$ da $2x-3y+5z=-4$, exactamente el primero.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Sean}}\mathbf{\text{paralelos.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{para}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Para que sean paralelos y distintos, los coeficientes de las incógnitas deben ser proporcionales pero el término independiente no debe seguir la misma proporción.

${\displaystyle \frac{2}{b}}={\displaystyle \frac{-3}{3}}={\displaystyle \frac{5}{-5}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{a}{4}}\Rightarrow b=-2\text{ y }a\mathrm{\ne }-4$

Sí es posible: por ejemplo, $a=0$ y $b=-2$. Entonces ${\pi }_1:2x-3y+5z=0$ y ${\pi }_2:-2x+3y-5z=4$, cuyos primeros miembros son opuestos y cuyos segundos no, así que ningún punto puede cumplir las dos ecuaciones.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{corten}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{recta.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{para}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Dos planos se cortan en una recta cuando sus normales no son proporcionales, es decir, cuando falla la única igualdad que puede fallar:

${\displaystyle \frac{2}{b}}\mathrm{\ne }-1\Rightarrow b\mathrm{\ne }-2$

y en ese caso el valor de $a$ es indiferente.

Sí es posible: por ejemplo, $a=0$ y $b=0$, con lo que ${\pi }_1:2x-3y+5z=0$ y ${\pi }_2:3y-5z=4$ se cortan en una recta.