Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Los puntos $A=(2,0,0)$, $B=(-1,12,4)$ son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice se encuentra en la recta $r:\{\begin{array}{l}4x+3z=33\\ y=0\end{array}$

a) Calcule las coordenadas del tercer vértice $C$, sabiendo que la recta $r$ es perpendicular a la recta que pasa por los puntos $A$ y $C$. [1,5 puntos]

b) Determine el ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$. [0,5 puntos]

c) Calcule el área del triángulo $ABC$. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tercer}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice}}\mathit{C}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Empezamos escribiendo $r$ en paramétricas. Su vector director es el producto vectorial de los normales de los dos planos que la definen.

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 4& 0& 3\\ 0& 1& 0\end{array}\mid =(-3,0,4)$

Un punto de $r$ se obtiene dando un valor a $z$; con $z=3$ resulta $4x=33-9=24$, es decir, $x=6$:

$r:\{\begin{array}{l}x=6-3\mu \\ y=0\\ z=3+4\mu \end{array},C(6-3\mu ,0,3+4\mu )$

Como $C\in r$, la recta que pasa por $A$ y $C$ tiene por director $\overrightarrow{AC}$, y la condición del enunciado es que ese vector sea ortogonal a ${\vec{v}}_r$: su producto escalar debe anularse.

$\overrightarrow{AC}=(6-3\mu -2,0,3+4\mu )=(4-3\mu ,0,3+4\mu )$

${\vec{v}}_r\cdot \overrightarrow{AC}=-3(4-3\mu )+4(3+4\mu )=-12+9\mu +12+16\mu =25\mu$

$25\mu =0\Rightarrow \mu =0$



El tercer vértice es $C(6,0,3)$.



El ángulo entre dos vectores sale del producto escalar.

$\overrightarrow{AB}=(-3,12,4),\overrightarrow{AC}=(4,0,3)$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-12+0+12=0$

El producto escalar es nulo, de modo que no hace falta calcular los módulos:

$\cos \alpha =0\Rightarrow \alpha ={90}^{\circ }$

Los dos vectores son perpendiculares: el triángulo es rectángulo en $A$.



Al ser rectángulo en $A$, los dos lados que salen de ese vértice son los catetos y el área es su semiproducto.

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=\sqrt{9+144+16}=\sqrt{169}=13,\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }=\sqrt{16+0+9}=\sqrt{25}=5$

$S={\displaystyle \frac{13\cdot 5}{2}}={\displaystyle \frac{65}{2}}=\mathrm{32,5}$

El área del triángulo es $\mathrm{32,5}$ unidades de área. Se llega al mismo valor con el producto vectorial, ya que $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(36,25,-48)$ tiene módulo $\sqrt{4225}=65$.