Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Considere la recta $r:{\displaystyle \frac{x+1}{-1}}={\displaystyle \frac{y+3}{2}}={\displaystyle \frac{z}{1}}$ y el plano $\pi :x-2y-z=-1$.

a) Estudie la posición relativa de recta y plano. [1 punto]

b) Si $r$ corta a $\pi$ calcule el punto de corte y el ángulo que forman. Si la recta no corta al plano, calcule la distancia entre ambos. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{plano.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Leemos de las ecuaciones un punto y el director de la recta, y el vector normal del plano.

$r:{\displaystyle \frac{x+1}{-1}}={\displaystyle \frac{y+3}{2}}={\displaystyle \frac{z}{1}}\Rightarrow P(-1,-3,0),{\vec{v}}_r=(-1,2,1)$

$\pi :x-2y-z=-1\Rightarrow {\vec{n}}_{\pi }=(1,-2,-1)$

La posición relativa la decide el producto escalar de los dos vectores.

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=-1-4-1=-6\mathrm{\ne }0$

Al no ser ortogonales, la recta corta al plano en un punto. Hay además algo más fuerte que conviene notar:

${\vec{v}}_r=(-1,2,1)=-(1,-2,-1)=-{\vec{n}}_{\pi }$

El director de la recta es proporcional al normal del plano, de modo que $r$ no solo corta a $\pi$: lo atraviesa perpendicularmente.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathit{r}\mathbf{\text{corta}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forman.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{corta}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{ambos.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Escribimos $r$ en paramétricas y sustituimos en la ecuación del plano.

$r:\{\begin{array}{l}x=-1-\lambda \\ y=-3+2\lambda \\ z=\lambda \end{array}$

$(-1-\lambda )-2(-3+2\lambda )-\lambda =-1$

$-1-\lambda +6-4\lambda -\lambda =-1\Rightarrow 5-6\lambda =-1\Rightarrow \lambda =1$

$x=-2,y=-1,z=1$

El punto de corte es $Q(-2,-1,1)$.

El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del que forman el director y el normal, y por eso se calcula con el seno:

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\mid {\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }\mid }{\mathrm{\mid }{\vec{v}}_r\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{\vec{n}}_{\pi }\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{6}{6}}=1$

$\mathrm{sen}\alpha =1\Rightarrow \alpha ={90}^{\circ }$

La recta corta al plano en $Q(-2,-1,1)$ y lo hace formando un ángulo de ${90}^{\circ }$, como ya anticipaba el apartado anterior.