Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Se dispara un misil en línea recta desde el punto $A=(1,2,8)$ hacia la posición de la base enemiga $B=(3,4,0)$.

a) Calcule la ecuación de la recta que contiene la trayectoria del misil. [0,5 puntos]

b) Calcule el punto en el que el misil cruza el plano $z=4$. [0,5 puntos]

c) Calcule la distancia que recorre el misil desde que se lanza hasta que impacta en $B$. [0,5 puntos]

d) Calcule un vector perpendicular a los vectores $\overrightarrow{OB}$ y $\overrightarrow{AB}$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{misil.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La trayectoria es la recta que pasa por los dos puntos, así que tomamos $A$ como punto y $\overrightarrow{AB}$ como director, simplificándolo por el factor común.

$\overrightarrow{AB}=(3,4,0)-(1,2,8)=(2,2,-8)\parallel (1,1,-4)$

$r:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=2+\lambda \\ z=8-4\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$



Basta imponer la condición del plano en la tercera coordenada de la recta.

$8-4\lambda =4\Rightarrow \lambda =1$

$x=1+1=2,y=2+1=3,z=4$

El misil cruza el plano $z=4$ en el punto $P(2,3,4)$, que es justo el punto medio de $A$ y $B$.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{recorre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{misil}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{lanza}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{impacta}}\mathbf{\text{en}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Como la trayectoria es rectilínea, la distancia recorrida es el módulo del vector que une los dos puntos.

$d(A,B)=\mid \overrightarrow{AB}\mid =\sqrt{2^2+2^2+(-8{)}^2}=\sqrt{4+4+64}=\sqrt{72}$

$=6\sqrt{2}\approx \mathrm{8,4853}\text{ u}$



El producto vectorial de dos vectores es perpendicular a los dos, así que basta calcularlo.

$\overrightarrow{OB}=(3,4,0),\overrightarrow{AB}=(2,2,-8)$

$\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{AB}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3& 4& 0\\ 2& 2& -8\end{array}\mid =(-32,24,-2)$

Cualquier múltiplo suyo sirve igual, así que lo simplificamos dividiendo por $2$:

$\vec{w}=(-16,12,-1)$

Comprobamos que es ortogonal a los dos:

$\vec{w}\cdot \overrightarrow{OB}=-48+48+0=0,\vec{w}\cdot \overrightarrow{AB}=-32+24+8=0$

El vector $(-16,12,-1)$ es perpendicular a $\overrightarrow{OB}$ y a $\overrightarrow{AB}$.