Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Considere el plano $\mathrm{\Pi }:2x+3y-4z=10$ y los puntos $A=(1,2,1)$, $B=(2,3,3)$.

a) Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$. [0,5 puntos]

b) Halle el vector normal del plano $\mathrm{\Pi }$. [0,25 puntos]

c) Determine la posición relativa del plano $\mathrm{\Pi }$, y la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$. [0,75 puntos]

d) Halle la ecuación del plano paralelo a $\mathrm{\Pi }$ que contiene al punto $A$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Tomamos $A$ como punto y $\overrightarrow{AB}$ como vector director.

$\overrightarrow{AB}=(2,3,3)-(1,2,1)=(1,1,2)$

$r:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=2+\lambda \\ z=1+2\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{normal}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\Pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El vector normal se lee directamente en los coeficientes de las incógnitas.

${\vec{n}}_{\mathrm{\Pi }}=(2,3,-4)$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\Pi }\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La posición relativa la decide el producto escalar del director de la recta por el normal del plano.

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\mathrm{\Pi }}=1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot (-4)=2+3-8=-3\mathrm{\ne }0$

Al no ser ortogonales, la recta no es paralela al plano ni está contenida en él: lo corta en un punto. Lo localizamos sustituyendo las paramétricas en la ecuación del plano.

$2(1+\lambda )+3(2+\lambda )-4(1+2\lambda )=10$

$2+2\lambda +6+3\lambda -4-8\lambda =10\Rightarrow 4-3\lambda =10\Rightarrow \lambda =-2$

$x=-1,y=0,z=-3$



La recta y el plano son secantes, y se cortan en el punto $Q(-1,0,-3)$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{paralelo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\Pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Dos planos son paralelos cuando comparten vector normal, así que el plano buscado tiene la misma ecuación salvo el término independiente.

$\sigma :2x+3y-4z=D$

Imponemos que pase por $A(1,2,1)$:

$D=2\cdot 1+3\cdot 2-4\cdot 1=2+6-4=4$

$\sigma :2x+3y-4z=4$

Como $4\mathrm{\ne }10$, el plano obtenido es distinto de $\mathrm{\Pi }$ y por tanto verdaderamente paralelo a él.