Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Los puntos $A=(0,-1,1)$, $B=(1,1,1)$ son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice está contenido en la recta $r$ que pasa por el punto $B$ y es perpendicular al plano $\pi :2x-y+z=1$.

a) Calcule la ecuación de la recta $r$. [1,5 puntos]

b) Calcule las coordenadas del vértice $C$ sabiendo que el área del triángulo es $3\sqrt{30}$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Que una recta sea perpendicular a un plano significa que su vector director es el vector normal de ese plano, y ese se lee directamente en los coeficientes de la ecuación.

${\vec{n}}_{\pi }=(2,-1,1)\Rightarrow {\vec{v}}_r=(2,-1,1)$

Con ese director y el punto $B(1,1,1)$ que da el enunciado:

$r:\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda \\ y=1-\lambda \\ z=1+\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice}}\mathit{C}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">3</mn><msqrt><mn\; mathvariant="bold">30</mn></msqrt></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El vértice $C$ es un punto de $r$, así que sus coordenadas dependen del parámetro. El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos lados con origen común, y la imponemos igual al dato.

$\overrightarrow{AB}=(1,2,0),\overrightarrow{AC}=(1+2\lambda ,2-\lambda ,\lambda )$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& 0\\ 1+2\lambda & 2-\lambda & \lambda \end{array}\mid =(2\lambda ,-\lambda ,-5\lambda )$

$\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid =\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\sqrt{4+1+25}=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\sqrt{30}$

$S={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\sqrt{30}}{2}}=3\sqrt{30}\Rightarrow \mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }=6\Rightarrow \lambda =\pm 6$

Los dos signos son válidos, porque $C$ puede estar a cualquiera de los dos lados del plano.

$\lambda =6\Rightarrow C(13,-5,7),\lambda =-6\Rightarrow C(-11,7,-5)$

Hay dos vértices posibles, $C(13,-5,7)$ y $C(-11,7,-5)$, simétricos respecto del punto $B$.