Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

a) Escriba las ecuaciones paramétricas de las rectas que pasan por el punto $(2,-1,0)$. Es decir, de aquellas que tienen vector director $(v_1,v_2,v_3)$, donde $v_1,v_2,v_3\in \mathbb{R}$ son parámetros. [1,5 puntos]

b) De las rectas anteriores, escriba las ecuaciones paramétricas de la recta que tiene vector director $(-1,4,1)$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{param}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tricas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasan}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una recta del espacio queda determinada por un punto y un vector director. Aquí el punto está fijo y el director es libre, de modo que lo que se describe no es una recta sino todo el haz de rectas que pasan por él.

$P(2,-1,0),\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$

La ecuación vectorial es $(x,y,z)=(2,-1,0)+\lambda (v_1,v_2,v_3)$, e igualando coordenada a coordenada se obtienen las paramétricas:

$\{\begin{array}{l}x=2+\lambda v_1\\ y=-1+\lambda v_2\\ z=\lambda v_3\end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

con la única condición de que el director no sea el vector nulo:

$(v_1,v_2,v_3)\mathrm{\ne }(0,0,0)$

Dos directores proporcionales dan la misma recta, así que cada recta del haz aparece infinitas veces en esta familia.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{anteriores,}}\mathbf{\text{escriba}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{param}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tricas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{director}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Basta particularizar la familia anterior tomando $v_1=-1$, $v_2=4$ y $v_3=1$.

$r:\{\begin{array}{l}x=2-\lambda \\ y=-1+4\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

Con $\lambda =0$ se recupera el punto $(2,-1,0)$, como debe ser.