Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Considere el par de rectas $r:\{\begin{array}{l}3x-5=y\\ z=0\end{array}$ y $s:\{\begin{array}{l}6x-2y=1\\ z=0\end{array}$.

a) Calcule la posición relativa de las dos rectas. [1 punto]

b) Dé la ecuación del plano que contiene a ambas rectas. [0,5 puntos]

c) Dé la ecuación de un plano ortogonal a la recta $r$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{rectas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Pasamos las dos rectas a paramétricas para leer un punto y un director de cada una. En ambas la tercera ecuación es $z=0$, así que basta despejar $y$ en función de $x$.

$r:\{\begin{array}{l}y=3x-5\\ z=0\end{array}\Rightarrow r:\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=-5+3\lambda \\ z=0\end{array}\Rightarrow P_r(0,-5,0),{\vec{v}}_r=(1,3,0)$

$s:\{\begin{array}{l}6x-2y=1\\ z=0\end{array}\Rightarrow y=3x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow s:\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+3\lambda \\ z=0\end{array}\Rightarrow P_s(0,-{\displaystyle \frac{1}{2}},0),{\vec{v}}_s=(1,3,0)$

Los dos directores son el mismo vector, luego las rectas son paralelas o coincidentes. Para distinguirlo comprobamos si un punto de $r$ satisface la ecuación de $s$.

$6\cdot 0-2\cdot (-5)=10\mathrm{\ne }1\Rightarrow P_r\mathrm{\notin }s$

Las dos rectas son paralelas y distintas: tienen la misma dirección y ningún punto en común.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{D}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{rectas.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dos rectas paralelas y distintas determinan siempre un plano. Aquí se lee de inmediato, porque las dos tienen todos sus puntos con tercera coordenada nula:

$\pi :z=0$

que es el plano $OXY$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{D}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{ortogonal}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Un plano es ortogonal a una recta cuando el vector director de la recta es normal al plano, así que tomamos

${\vec{n}}_{\sigma }={\vec{v}}_r=(1,3,0)$

$\sigma :x+3y+0\cdot z+D=0\Rightarrow \sigma :x+3y+D=0$

Cualquier valor de $D$ da un plano válido, porque todos ellos son paralelos entre sí. Tomando $D=0$:

$\sigma :x+3y=0$

Es un plano ortogonal a $r$ y, por ser ${\vec{v}}_s={\vec{v}}_r$, también lo es a $s$.