Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por un vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. Considere el triángulo de vértices $A=(-1,2,3)$, $B=(3,-4,1)$, $C=(1,-4,5)$.

a) Calcule las ecuaciones de las tres medianas del triángulo $ABC$. [1,5 puntos]

b) Compruebe que las tres medianas se cortan en un punto y calcule las coordenadas de dicho punto. [1 punto]

Cada mediana está determinada por un vértice y el punto medio del lado opuesto, así que empezamos calculando los tres puntos medios promediando coordenada a coordenada.

$M_A={\displaystyle \frac{B+C}{2}}=({\displaystyle \frac{3+1}{2}},{\displaystyle \frac{-4-4}{2}},{\displaystyle \frac{1+5}{2}})=(2,-4,3)$

$M_B={\displaystyle \frac{A+C}{2}}=({\displaystyle \frac{-1+1}{2}},{\displaystyle \frac{2-4}{2}},{\displaystyle \frac{3+5}{2}})=(0,-1,4)$

$M_C={\displaystyle \frac{A+B}{2}}=({\displaystyle \frac{-1+3}{2}},{\displaystyle \frac{2-4}{2}},{\displaystyle \frac{3+1}{2}})=(1,-1,2)$

Los vectores directores son los que van de cada vértice a su punto medio, y se pueden simplificar dividiendo por el factor común.

$\overrightarrow{A{M}_A}=(3,-6,0)\parallel (1,-2,0),\overrightarrow{B{M}_B}=(-3,3,3)\parallel (-1,1,1),\overrightarrow{C{M}_C}=(0,3,-3)\parallel (0,1,-1)$

$m_A:\{\begin{array}{l}x=-1+\lambda \\ y=2-2\lambda \\ z=3\end{array}{m}_B:\{\begin{array}{l}x=3-\lambda \\ y=-4+\lambda \\ z=1+\lambda \end{array}{m}_C:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-4+\lambda \\ z=5-\lambda \end{array}$

con $\lambda \in \mathbb{R}$ en las tres.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{medianas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cortan}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{punto.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Cortamos dos de ellas y comprobamos después que la tercera pasa por el punto obtenido. Igualamos $m_A$ y $m_C$, que es el par más cómodo porque cada una tiene una coordenada constante:

$m_A$ obliga a $z=3$ y $m_C$ obliga a $x=1$. Llevando $x=1$ a $m_A$:

$-1+\lambda =1\Rightarrow \lambda =2\Rightarrow y=2-4=-2$

de donde el punto de corte es $G(1,-2,3)$. Lo comprobamos ahora en $m_C$ y en $m_B$, en las dos con $\lambda =2$:

$m_C:(1,-4+2,5-2)=(1,-2,3)\mathrm{✓}$

$m_B:(3-2,-4+2,1+2)=(1,-2,3)\mathrm{✓}$



Las tres medianas se cortan en el punto $G(1,-2,3)$, que es el baricentro del triángulo. No es casualidad que salga la media aritmética de los tres vértices:

${\displaystyle \frac{A+B+C}{3}}=({\displaystyle \frac{-1+3+1}{3}},{\displaystyle \frac{2-4-4}{3}},{\displaystyle \frac{3+1+5}{3}})=(1,-2,3)$