Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Sean $A=(0,3,2)$, $B=(4,1,3)$, $C=(2,3,4)$ y $D=(0,1,2)$ los vértices de un tetraedro.

a) Obtenga la ecuación vectorial del plano determinada por los puntos $A$, $B$ y $C$. [1,25 puntos]

b) Calcule el volumen del tetraedro. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{vectorial}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{determinada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores independientes. Tomamos como punto $A$ y como directores los vectores que van de $A$ a los otros dos vértices.

$\overrightarrow{AB}=(4,1,3)-(0,3,2)=(4,-2,1)$

$\overrightarrow{AC}=(2,3,4)-(0,3,2)=(2,0,2)$

Los dos vectores no son proporcionales, luego determinan efectivamente un plano.

$\pi :(x,y,z)=(0,3,2)+\lambda (4,-2,1)+\mu (2,0,2),\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{volumen}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tetraedro.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El volumen de un tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de las tres aristas que concurren en un vértice. Añadimos el tercer vector desde $A$:

$\overrightarrow{AD}=(0,1,2)-(0,3,2)=(0,-2,0)$

$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=\mid \begin{array}{ccc}4& -2& 1\\ 2& 0& 2\\ 0& -2& 0\end{array}\mid$

Desarrollamos por la tercera fila, que solo tiene un elemento no nulo:

$=-(-2)\mid \begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 2\end{array}\mid =2(8-2)=12$

$V={\displaystyle \frac{1}{6}}\mid [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]\mid ={\displaystyle \frac{12}{6}}=2$

El producto mixto no es nulo, de modo que los cuatro puntos no son coplanarios y el tetraedro existe. Su volumen es $2$ unidades de volumen.