Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Calcule las ecuaciones de las rectas de los lados de un triángulo que tiene como vértices a los puntos $A=(0,0,1)$, $B=(4,1,2)$ y $C=(3,4,3)$. [2,5 puntos]

Cada lado del triángulo está sobre la recta que pasa por dos de los vértices, de modo que basta tomar uno de ellos como punto y el vector que los une como director. Calculamos los tres vectores.

$\overrightarrow{AB}=(4,1,2)-(0,0,1)=(4,1,1)$

$\overrightarrow{AC}=(3,4,3)-(0,0,1)=(3,4,2)$

$\overrightarrow{BC}=(3,4,3)-(4,1,2)=(-1,3,1)$

Ninguno de los tres es proporcional a otro, así que los tres vértices no están alineados y el triángulo existe.



Lado $AB$, con punto $A(0,0,1)$ y director $\overrightarrow{AB}=(4,1,1)$:

$r_{AB}:\{\begin{array}{l}x=4\lambda \\ y=\lambda \\ z=1+\lambda \end{array}⟺{\displaystyle \frac{x}{4}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z-1}{1}}$

Lado $AC$, con punto $A(0,0,1)$ y director $\overrightarrow{AC}=(3,4,2)$:

$r_{AC}:\{\begin{array}{l}x=3\lambda \\ y=4\lambda \\ z=1+2\lambda \end{array}⟺{\displaystyle \frac{x}{3}}={\displaystyle \frac{y}{4}}={\displaystyle \frac{z-1}{2}}$

Lado $BC$, con punto $B(4,1,2)$ y director $\overrightarrow{BC}=(-1,3,1)$:

$r_{BC}:\{\begin{array}{l}x=4-\lambda \\ y=1+3\lambda \\ z=2+\lambda \end{array}⟺{\displaystyle \frac{x-4}{-1}}={\displaystyle \frac{y-1}{3}}={\displaystyle \frac{z-2}{1}}$

En las tres, $\lambda \in \mathbb{R}$. Comprobamos, por ejemplo, que $C$ está en $r_{BC}$ haciendo $\lambda =1$:

$(4-1,1+3,2+1)=(3,4,3)=C$