Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Sean los planos $\pi \equiv x-2y+4z+1=0$ y ${\pi }_d\equiv 2x-3y+6z=d$, con $d\in \mathbb{R}$.

a) ¿Hay algún valor de $d\in \mathbb{R}$ para el cual los planos $\pi$ y ${\pi }_d$ no se corten? [1 punto]

b) Calcula, para $d=-2$, los puntos de corte entre los planos $\pi$ y ${\pi }_d$. [1 punto]

Dos planos dejan de cortarse únicamente cuando son paralelos (o coincidentes), y eso ocurre solo si sus vectores normales son proporcionales. Comparamos entonces las dos normales.











${\vec{n}}_{\pi }=(1,-2,4),{\vec{n}}_{{\pi }_d}=(2,-3,6)$

${\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{-2}{-3}}$

Los dos vectores no son proporcionales, y esto no depende de $d$: el término independiente no interviene en la dirección del plano.





Dicho con el sistema que forman las dos ecuaciones, la matriz de coeficientes tiene rango 2 cualquiera que sea $d$, porque el menor

$\mid \begin{array}{cc}1& -2\\ 2& -3\end{array}\mid =-3+4=1\mathrm{\ne }0$

no se anula. Como la matriz ampliada tiene solo dos filas, su rango también es 2, así que el sistema es siempre compatible indeterminado con un grado de libertad: los planos se cortan en una recta.

No existe ningún valor de $d$ para el que los planos no se corten: para todo $d\in \mathbb{R}$ se cortan en una recta.



Los puntos comunes a los dos planos son las soluciones del sistema formado por sus ecuaciones. Por el apartado anterior sabemos que es compatible indeterminado, así que damos a una incógnita el papel de parámetro.

$\{\begin{array}{l}x-2y+4z=-1\\ 2x-3y+6z=-2\end{array}$

Despejamos $x$ en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

$x=-1+2y-4z$

$2(-1+2y-4z)-3y+6z=-2$

$-2+4y-8z-3y+6z=-2\Rightarrow y-2z=0\Rightarrow y=2z$

Llevamos este resultado a la expresión de $x$:

$x=-1+2(2z)-4z=-1+4z-4z=-1$

Tomando $z=\lambda$ como parámetro, los puntos de corte son:

$r:\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

Se trata de la recta que pasa por el punto $(-1,0,0)$ con vector director ${\vec{v}}_r=(0,2,1)$, que es precisamente el producto vectorial de las dos normales:

${\vec{n}}_{\pi }\times {\vec{n}}_{{\pi }_d}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& 4\\ 2& -3& 6\end{array}\mid =(-12+12)\vec{i}-(6-8)\vec{j}+(-3+4)\vec{k}=(0,2,1)$

Los dos planos se cortan en la recta $r$ de ecuaciones paramétricas $x=-1$, $y=2\lambda$, $z=\lambda$.