Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Considere la recta $r:\{\begin{array}{l}x+y+z+5=0\\ x+2y-z=0\end{array}$ y el plano $\pi :2x+y-az=3$ en función del parámetro $a\in \mathbb{R}$. Razone si es posible asignar algún valor al parámetro $a$ para que:

a) la recta esté contenida en el plano. En caso afirmativo, dé un valor para $a$. [0,75 puntos]

b) la recta y el plano sean paralelos. En caso afirmativo, dé un valor para $a$. [0,75 puntos]

c) la recta y el plano se corten. En caso afirmativo, dé un valor para $a$ y dónde se cortan. [1 punto]

Las tres posiciones relativas se deciden con el mismo par de datos, así que los obtenemos una sola vez. Un vector director de $r$ es el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos que la definen:

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\mid =(-3,2,1)$

Un punto de $r$ se obtiene dando un valor a una incógnita; con $z=0$ queda $x+y=-5$ y $x+2y=0$, de donde $y=5$ y $x=-10$:

$P(-10,5,0)\in r$

El vector normal del plano es ${\vec{n}}_{\pi }=(2,1,-a)$, y el producto escalar que decide todo es

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=-6+2-a=-4-a$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{contenida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{para}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Para que $r\subset \pi$ hacen falta dos cosas: que ${\vec{v}}_r$ sea ortogonal a ${\vec{n}}_{\pi }$ y que además un punto de $r$ pertenezca a $\pi$.

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=0\Rightarrow -4-a=0\Rightarrow a=-4$

Comprobamos el punto $P$ en $\pi :2x+y+4z=3$:

$2(-10)+5+4\cdot 0=-15\mathrm{\ne }3\Rightarrow P\mathrm{\notin }\pi$

El único valor que hace ortogonales los dos vectores deja el punto fuera del plano, de modo que no existe ningún valor de $a$ para el que la recta esté contenida en el plano.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{paralelos.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{para}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El paralelismo pide exactamente lo mismo que el apartado anterior salvo la segunda condición, que ahora se exige al revés: ${\vec{v}}_r\perp {\vec{n}}_{\pi }$ y $P\mathrm{\notin }\pi$. Ambas se cumplen para

$a=-4$

Sí es posible: para $a=-4$ la recta es paralela al plano $\pi :2x+y+4z=3$ y no tiene ningún punto en común con él.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{corten.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{para}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cortan.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La recta corta al plano cuando el director no es ortogonal a la normal, es decir, para cualquier $a\mathrm{\ne }-4$. Tomamos por ejemplo $a=0$, con lo que $\pi :2x+y=3$.

Escribimos $r$ en paramétricas a partir de $P$ y ${\vec{v}}_r$ y sustituimos en la ecuación del plano.

$r:\{\begin{array}{l}x=-10-3\lambda \\ y=5+2\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

$2(-10-3\lambda )+(5+2\lambda )=3\Rightarrow -15-4\lambda =3\Rightarrow \lambda =-{\displaystyle \frac{9}{2}}$

$x=-10+{\displaystyle \frac{27}{2}}={\displaystyle \frac{7}{2}},y=5-9=-4,z=-{\displaystyle \frac{9}{2}}$

Sí es posible: para $a=0$ la recta y el plano se cortan en el punto $({\displaystyle \frac{7}{2}},-4,-{\displaystyle \frac{9}{2}})$.