Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Halle la ecuación general del plano que contiene a la recta $r:\{\begin{array}{l}3x+y-4z+1=0\\ 2x+y-z+2=0\end{array}$ y es perpendicular al plano $\pi :2x-y+3z-1=0$. [2 puntos]

Todos los planos que contienen a una recta dada como intersección de otros dos forman el haz que estos generan: cualquier combinación lineal de sus ecuaciones se anula en todos los puntos de la recta. Basta escribir el haz e imponer la condición de perpendicularidad.

$\lambda (3x+y-4z+1)+\mu (2x+y-z+2)=0,(\lambda ,\mu )\mathrm{\ne }(0,0)$

Agrupando términos se obtiene la ecuación general y, con ella, el vector normal:

$(3\lambda +2\mu )x+(\lambda +\mu )y+(-4\lambda -\mu )z+(\lambda +2\mu )=0$

$\vec{n}=(3\lambda +2\mu ,\lambda +\mu ,-4\lambda -\mu )$

Dos planos son perpendiculares cuando lo son sus vectores normales, es decir, cuando su producto escalar se anula. El del plano $\pi$ se lee en su ecuación:

${\vec{n}}_{\pi }=(2,-1,3)$

$\vec{n}\cdot {\vec{n}}_{\pi }=2(3\lambda +2\mu )-(\lambda +\mu )+3(-4\lambda -\mu )=0$

$6\lambda +4\mu -\lambda -\mu -12\lambda -3\mu =-7\lambda =0\Rightarrow \lambda =0$

Los términos en $\mu$ se cancelan entre sí, de modo que la condición solo obliga a que $\lambda$ sea nulo. Como $\lambda$ y $\mu$ no pueden anularse a la vez, se toma $\mu =1$ y el plano buscado es el segundo de los dos que definen la recta:

$\sigma :2x+y-z+2=0$

Comprobamos la perpendicularidad con el plano dado:

$(2,1,-1)\cdot (2,-1,3)=4-1-3=0$

El plano pedido es $\sigma :2x+y-z+2=0$. Contiene a la recta por construcción, ya que es uno de los planos que la definen.