Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Se considera la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x+z=1\\ 2x+y=3\end{array}$

a) Calcule la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y que pasa por el punto $(0,0,1)$. [1,25 puntos]

b) Se considera el paralelepípedo definido por los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{u}\times \vec{v}$. Sabiendo que $\vec{u}\times \vec{v}=(-1,1,1)$, calcule el volumen de dicho paralelepípedo. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La recta viene dada como intersección de dos planos, y todos los planos que la contienen forman el haz que generan esos dos: cualquier combinación lineal de sus ecuaciones se anula en todos los puntos de la recta. Basta, pues, escribir el haz e imponer que pase por el punto dado.

$\lambda (x+z-1)+\mu (2x+y-3)=0,(\lambda ,\mu )\mathrm{\ne }(0,0)$

Sustituimos el punto $(0,0,1)$:

$\lambda (0+1-1)+\mu (0+0-3)=0\Rightarrow -3\mu =0\Rightarrow \mu =0$

Con $\mu =0$ el parámetro $\lambda$ queda libre y puede tomarse igual a 1, de modo que el plano buscado es uno de los dos que definen la recta:

$\pi :x+z-1=0$

Era de esperar: el punto $(0,0,1)$ verifica $0+1-1=0$, así que ya pertenecía a ese plano y no hacía falta ninguna combinación nueva.

El plano pedido es $\pi :x+z=1$.



El volumen de un paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que lo determinan. Aquí el tercero es el producto vectorial de los otros dos, y eso simplifica el cálculo del todo: el producto mixto $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ es por definición $(\vec{u}\times \vec{v})\cdot \vec{w}$, y aquí $\vec{w}$ es precisamente $\vec{u}\times \vec{v}$.

$V=\mid [\vec{u},\vec{v},\vec{u}\times \vec{v}]\mid =\mid (\vec{u}\times \vec{v})\cdot (\vec{u}\times \vec{v})\mid ={\mid \vec{u}\times \vec{v}\mid }^2$

${\mid \vec{u}\times \vec{v}\mid }^2=(-1{)}^2+1^2+1^2=3$

No hace falta, por tanto, conocer $\vec{u}$ ni $\vec{v}$. El volumen del paralelepípedo es de 3 unidades cúbicas.