Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(1,-2,0)$ y es perpendicular al plano determinado por los puntos $(1,0,1)$, $(3,1,0)$ y $(2,-1,1)$. Exprésela como intersección de dos planos. [2 puntos]

La recta ha de ser perpendicular al plano que determinan los tres puntos, y una recta perpendicular a un plano tiene por vector director el vector normal de ese plano. El plan es, pues: hallar la normal del plano con un producto vectorial y escribir después la recta que pasa por el punto dado con esa dirección.

i) Vectores del plano. Tomamos como origen el primero de los tres puntos, $P(1,0,1)$, y llamamos $Q(3,1,0)$ y $R(2,-1,1)$ a los otros dos.

$\overrightarrow{PQ}=(3,1,0)-(1,0,1)=(2,1,-1);\overrightarrow{PR}=(2,-1,1)-(1,0,1)=(1,-1,0)$

ii) Vector normal del plano:

$\vec{n}=\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 1& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\mid =(0-1)\vec{i}-(0+1)\vec{j}+(-2-1)\vec{k}=(-1,-1,-3)$

Los tres puntos no están alineados, ya que el producto vectorial no es nulo, y por tanto determinan un plano. Su ecuación, aunque no la pida el enunciado, es $\pi :x+y+3z-4=0$, y sirve para comprobar que el punto $(1,-2,0)$ no pertenece a él:

$1+(-2)+3\cdot 0-4=-5\mathrm{\ne }0$











iii) Dirección de la recta. Se puede cambiar el signo del vector normal, porque un director está determinado salvo un factor no nulo:

${\vec{v}}_r=-\vec{n}=(1,1,3)$





iv) Ecuación de la recta. Con el punto $(1,-2,0)$ y el director $(1,1,3)$, la forma continua es

$r:{\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y+2}{1}}={\displaystyle \frac{z}{3}}$

Igualando por parejas se obtienen las dos ecuaciones implícitas. De la primera igualdad:

$x-1=y+2\Rightarrow x-y-3=0$

De la segunda:

$3(y+2)=z\Rightarrow 3y-z+6=0$

Comprobamos que el punto $(1,-2,0)$ verifica ambas: $1+2-3=0$ y $-6-0+6=0$.

La recta pedida es $r:\{\begin{array}{l}x-y-3=0\\ 3y-z+6=0\end{array}$.