Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

El plano $\pi \equiv 2x+by-2z+4=0$, con $b\in \mathbb{R}$ y $b\mathrm{\ne }0$, corta a los ejes de coordenadas en tres puntos $A$, $B$ y $C$. Calcule los valores de $b\in \mathbb{R}$ tales que el área del triángulo que determinan estos tres puntos $A$, $B$ y $C$ sea $6{\text{u}}^2$. [2 puntos]

Los cortes de un plano con los ejes se obtienen anulando las otras dos variables en su ecuación. Con los tres puntos ya se puede calcular el área del triángulo que determinan, que es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados; imponiendo que valga $6{\text{u}}^2$ sale una ecuación en $b$.











$y=z=0:2x+4=0\Rightarrow A(-2,0,0)$

$x=z=0:by+4=0\Rightarrow B(0,-{\displaystyle \frac{4}{b}},0)$

$x=y=0:-2z+4=0\Rightarrow C(0,0,2)$

El corte con el eje $OY$ existe justamente porque el enunciado exige $b\mathrm{\ne }0$.





Tomamos los dos lados que parten de $A$:

$\overrightarrow{AB}=(2,-{\displaystyle \frac{4}{b}},0);\overrightarrow{AC}=(2,0,2)$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -\frac{4}{b}& 0\\ 2& 0& 2\end{array}\mid =-{\displaystyle \frac{8}{b}}\vec{i}-4\vec{j}+{\displaystyle \frac{8}{b}}\vec{k}$

$\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid =\sqrt{{\displaystyle \frac{64}{b^2}}+16+{\displaystyle \frac{64}{b^2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{128}{b^2}}+16}$

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{128}{b^2}}+16}=6$

Elevamos al cuadrado, que es una transformación válida por ser ambos miembros positivos:

$\sqrt{{\displaystyle \frac{128}{b^2}}+16}=12\Rightarrow {\displaystyle \frac{128}{b^2}}+16=144\Rightarrow {\displaystyle \frac{128}{b^2}}=128\Rightarrow b^2=1$

$b=\pm 1$

Los dos valores son distintos de cero, así que ambos son admisibles. Los valores pedidos son $b=1$ y $b=-1$: para ellos el plano corta a los ejes en un triángulo de área $6{\text{u}}^2$.