Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2024

De una matriz $B$ sabemos que cumple

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ -7& -8& -9\end{array}\right)\cdot B=I_3-\left(\begin{array}{ccc}10& 11& 12\\ 7& 9& 9\\ -4& -5& -7\end{array}\right)\cdot B$

donde $I_3$ es la matriz identidad de orden 3. Estudie si la matriz $B$ tiene inversa. En caso afirmativo, calcule la inversa de $B$. [2 puntos]

Llamamos $M$ y $N$ a las dos matrices que multiplican a $B$. La igualdad del enunciado tiene la incógnita a los dos lados, así que lo primero es agruparla; como $B$ está multiplicada por la izquierda en ambos miembros, se puede sacar factor común por la derecha.

$M\cdot B=I_3-N\cdot B\Rightarrow M\cdot B+N\cdot B=I_3\Rightarrow (M+N)\cdot B=I_3$

$M+N=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ -7& -8& -9\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}10& 11& 12\\ 7& 9& 9\\ -4& -5& -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}11& 13& 15\\ 11& 14& 15\\ -11& -13& -16\end{array}\right)$

La igualdad obtenida dice justamente que $M+N$ es la inversa de $B$ por la izquierda. Para que $B$ sea invertible basta comprobar que $M+N$ lo es, y para eso se calcula su determinante. Restando la primera fila a la segunda y sumándosela a la tercera, operaciones que no alteran el determinante:

$\mathrm{\mid }M+N\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}11& 13& 15\\ 11& 14& 15\\ -11& -13& -16\end{array}\mid =\mid \begin{array}{ccc}11& 13& 15\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\mid =11\cdot 1\cdot (-1)=-11$

$\mathrm{\mid }M+N\mathrm{\mid }=-11\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{\exists }(M+N{)}^{-1}$

Multiplicando la igualdad $(M+N)\cdot B=I_3$ por $(M+N{)}^{-1}$ por la izquierda se obtiene $B=(M+N{)}^{-1}$. La inversa de una matriz invertible es invertible, y su inversa es la matriz de partida, de modo que $B$ tiene inversa y no hace falta calcular $B$ para saber cuál es:

$B^{-1}={[(M+N{)}^{-1}]}^{-1}=M+N=\left(\begin{array}{ccc}11& 13& 15\\ 11& 14& 15\\ -11& -13& -16\end{array}\right)$

La matriz $B$ sí tiene inversa, y esa inversa es $B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}11& 13& 15\\ 11& 14& 15\\ -11& -13& -16\end{array}\right)$.