Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2022

Dada la siguiente matriz:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$

a) Resuelva la ecuación matricial $AX-2I=A^2$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. [1 punto]

b) Analice el rango de la matriz $A-mB$ según los valores de $m\in \mathbb{R}$, siendo $A$ la matriz anterior y

$B=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)$

[1 punto]

Se despeja primero la incógnita en la ecuación matricial y después se sustituyen las matrices. Como $X$ está multiplicada por la izquierda por $A$, hay que multiplicar por $A^{-1}$ también por la izquierda, así que lo primero es comprobar que $A$ es invertible.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\mid =-1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\mid =-(0+1)=-1\mathrm{\ne }0$

(Se ha desarrollado por la segunda fila, que solo tiene un elemento no nulo.)

$AX-2I=A^2\Rightarrow AX=A^2+2I\Rightarrow X=A^{-1}(A^2+2I)=A^{-1}{A}^2+2A^{-1}=A+2A^{-1}$

La expresión final ahorra multiplicar matrices: basta con calcular la inversa.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 1& -1\\ -1& -1& 0\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{[\mathrm{Adj}(A)]}^T=-\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& 1& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ -1& -1& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

$X=A+2A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 2\\ -2& -2& 2\\ 0& 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -2& -2& 3\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado. Por un lado,

$A^2+2I=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 1& 0& 1\\ 2& -1& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ 1& 2& 1\\ 2& -1& 3\end{array}\right)$

y por otro,

$AX=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -2& -2& 3\\ 1& 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ 1& 2& 1\\ 2& -1& 3\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -2& -2& 3\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$.



Formamos la matriz que depende del parámetro y estudiamos su determinante, que es lo que decide si el rango llega a 3.

$A-mB=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)-m\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& m-1& 0\\ -m& 0& 1-m\\ 1& m& 1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A-mB\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& m-1& 0\\ -m& 0& 1-m\\ 1& m& 1\end{array}\mid$

Desarrollando por la primera fila:

$=1[0-m(1-m)]-(m-1)[-m-(1-m)]=-m+m^2-(m-1)(-1)=m^2-1$

$m^2-1=0\Rightarrow m=\pm 1$

$\text{Si }m\mathrm{\ne }\pm 1:\mathrm{\mid }A-mB\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A-mB)=3$

Para los dos valores que anulan el determinante buscamos un menor de orden 2 no nulo.

$m=1:A-B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 0& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}=2$

$m=-1:A+B=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 1& 0& 2\\ 1& -1& 1\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}1& -2\\ 1& 0\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}=2$

En resumen: el rango de $A-mB$ es 2 si $m=1$ o $m=-1$, y 3 para cualquier otro valor de $m$.