Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2022

Dada la siguiente matriz:

$A=\left(\begin{array}{cc}1& k\\ -1& k+1\end{array}\right)$

a) Determine el valor de $k\in \mathbb{R}$ para que se verifique $A^2=3I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2. [1 punto]

b) Calcule, para $k=0$, la matriz $B^n$ con $B=2A-I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2, y $n\in \mathbb{N}$. [1 punto]

Se calcula el cuadrado de la matriz y se iguala elemento a elemento con $3I$. Cada casilla da una ecuación, y el valor buscado ha de cumplirlas todas a la vez.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& k\\ -1& k+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& k\\ -1& k+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-k& k^2+2k\\ -k-2& k^2+k+1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}1-k& k^2+2k\\ -k-2& k^2+k+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$

$\{\begin{array}{l}1-k=3\Rightarrow k=-2\\ k^2+2k=0\Rightarrow k(k+2)=0\Rightarrow k=0\text{ o }k=-2\\ -k-2=0\Rightarrow k=-2\\ k^2+k+1=3\Rightarrow k^2+k-2=0\Rightarrow k=1\text{ o }k=-2\end{array}$

El único valor que aparece en las cuatro ecuaciones es $k=-2$. Lo comprobamos:

$k=-2\Rightarrow A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& -1\end{array}\right)\Rightarrow A^2=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=3I$

El valor pedido es $k=-2$.



Primero se construye la matriz $B$ y después se calculan sus primeras potencias hasta reconocer el patrón.

$k=0\Rightarrow A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)$

$B=2A-I=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)$

$B^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -4& 1\end{array}\right)$

$B^3=B^2\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -4& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -6& 1\end{array}\right)$

Solo cambia el elemento de la esquina inferior izquierda, que va tomando los valores $-2$, $-4$, $-6$: se conjetura que en la potencia $n$-ésima vale $-2n$.

$B^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2n& 1\end{array}\right)$

Lo probamos por inducción. Es cierto para $n=1$, y suponiéndolo cierto para $n$:

$B^{n+1}=B^n\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2n& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2n-2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2(n+1)& 1\end{array}\right)$

que es la fórmula para $n+1$. Queda así probado que $B^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2n& 1\end{array}\right)$ para todo $n\in \mathbb{N}$.