Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2022

Dadas las siguientes matrices:

$A=\left(\begin{array}{cc}1-m& -1\\ 2& 2m\\ m-1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

a) Estudie, según los valores de $m\in \mathbb{R}$, el rango de la matriz $P=A{B}^T+C$, donde $B^T$ es la matriz traspuesta de $B$. [1 punto]

b) Para el valor $m=1$, calcule la inversa de la matriz $P$ del apartado anterior. [1 punto]

La traspuesta de $B$ es de orden $2\times 3$, de modo que $A{B}^T$ es de orden $3\times 3$ y se le puede sumar $C$.

$B^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

$A{B}^T=\left(\begin{array}{cc}1-m& -1\\ 2& 2m\\ m-1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1-m& -1& 1-m\\ 2& 2m& 2\\ m-1& 1& m-1\end{array}\right)$

$P=A{B}^T+C=\left(\begin{array}{ccc}1-m& -1& 1-m\\ 2& 2m& 2\\ m-1& 1& m-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2-m& 0& 2-m\\ 2& 2m+1& 3\\ m-1& 1& m\end{array}\right)$

Como $P$ es cuadrada de orden 3, se estudia su determinante. La primera fila tiene iguales las columnas primera y tercera, así que conviene hacer $C_3\to C_3-C_1$, operación que no altera el determinante:

$\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2-m& 0& 2-m\\ 2& 2m+1& 3\\ m-1& 1& m\end{array}\mid =\mid \begin{array}{ccc}2-m& 0& 0\\ 2& 2m+1& 1\\ m-1& 1& 1\end{array}\mid$

Desarrollando por la primera fila:

$\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }=(2-m)\mid \begin{array}{cc}2m+1& 1\\ 1& 1\end{array}\mid =(2-m)(2m+1-1)=2m(2-m)$

$2m(2-m)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=0\\ m=2\end{array}$

$\text{Si }m\mathrm{\ne }0\text{ y }m\mathrm{\ne }2:\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(P)=3$

Para los dos valores que anulan el determinante se busca un menor de orden 2 no nulo.

$m=0:P=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 2& 1& 3\\ -1& 1& 0\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 1\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(P)=2$

$m=2:P=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2& 5& 3\\ 1& 1& 2\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 1\end{array}\mid =-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(P)=2$

En resumen: el rango de $P$ es 2 si $m=0$ o $m=2$, y 3 para cualquier otro valor de $m$.



Para $m=1$ el determinante vale $2\cdot 1\cdot (2-1)=2\mathrm{\ne }0$, así que la matriz es invertible.

$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 3& 3\\ 0& 1& 1\end{array}\right);\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }=2$

Calculamos la inversa por el método de la matriz adjunta.

$\mathrm{Adj}(P)=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 2\\ 1& 1& -1\\ -3& -1& 3\end{array}\right)$

$P^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }}}{[\mathrm{Adj}(P)]}^T={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -3\\ -2& 1& -1\\ 2& -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& -\frac{3}{2}\\ -1& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 1& -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$P\cdot P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 3& 3\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& -\frac{3}{2}\\ -1& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 1& -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

La inversa pedida es la matriz obtenida.