Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2021

a) Sabiendo que $\mid \begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\mid =5$, calcule justificadamente

$\mid \begin{array}{ccc}2d& 2e+2f& 2f\\ -g& -h-i& -i\\ a& b+c& c\end{array}\mid$

[1 punto]

b) Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 2& 2& 2\\ 2& 0& 0\end{array}\right)$, resuelva el sistema $(A-{\displaystyle \frac{1}{2}}{A}^T)\cdot X=\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 5\end{array}\right)$, donde $A^T$ es la matriz traspuesta de $A$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{determinante}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{vale}}\mathbf{\text{5,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{justificadamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{determinante.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

No hay que calcular ninguna letra: se trata de transformar el determinante pedido en el conocido usando las propiedades de los determinantes, una a una y justificando cada paso.

$\mid \begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\mid =5$

Empezamos sacando el factor 2 de la primera fila y el factor $-1$ de la segunda:

$\mid \begin{array}{ccc}2d& 2e+2f& 2f\\ -g& -h-i& -i\\ a& b+c& c\end{array}\mid =2\cdot (-1)\mid \begin{array}{ccc}d& e+f& f\\ g& h+i& i\\ a& b+c& c\end{array}\mid =-2\mid \begin{array}{ccc}d& e+f& f\\ g& h+i& i\\ a& b+c& c\end{array}\mid$

La segunda columna es la suma de otras dos, así que restándole la tercera —operación que no altera el determinante— queda:

$C_2\to C_2-C_3:-2\mid \begin{array}{ccc}d& e& f\\ g& h& i\\ a& b& c\end{array}\mid$

Solo falta reordenar las filas. La primera fila del determinante conocido ha pasado a ser la tercera, y eso se consigue con dos intercambios consecutivos, de modo que el signo no cambia:

$\mid \begin{array}{ccc}d& e& f\\ g& h& i\\ a& b& c\end{array}\mid =-\mid \begin{array}{ccc}d& e& f\\ a& b& c\\ g& h& i\end{array}\mid =+\mid \begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\mid =5$

$\mid \begin{array}{ccc}2d& 2e+2f& 2f\\ -g& -h-i& -i\\ a& b+c& c\end{array}\mid =-2\cdot 5=-10$

El determinante pedido vale $-10$.



Se construye primero la matriz de coeficientes y después se resuelve el sistema que plantea.

$A^T=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 2\\ 0& 2& 0\\ 0& 2& 0\end{array}\right)\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}{A}^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

$M=A-{\displaystyle \frac{1}{2}}{A}^T=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 2& 2& 2\\ 2& 0& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 2& 1& 2\\ 2& -1& 0\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 2& 1& 2\\ 2& -1& 0\end{array}\mid =0-4+2-2-0+2=2\mathrm{\ne }0$

El sistema es compatible determinado y tiene solución única. Lo resolvemos por sustitución.

$\{\begin{array}{l}x-y-z=0\\ 2x+y+2z=9\\ 2x-y=5\end{array}$

De la primera ecuación, $x=y+z$. Sustituyendo en la tercera y en la segunda:

$2(y+z)-y=5\Rightarrow y+2z=5$

$2(y+z)+y+2z=9\Rightarrow 3y+4z=9$

Despejando $y=5-2z$ en la primera de estas dos y llevándolo a la segunda:

$3(5-2z)+4z=9\Rightarrow 15-2z=9\Rightarrow z=3$

$y=5-2\cdot 3=-1;x=y+z=-1+3=2$

Comprobamos en las tres ecuaciones: $2+1-3=0$, $4-1+6=9$ y $4+1=5$.

La solución del sistema es $X=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$.