Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2020

Resuelva la ecuación matricial $XA+X{A}^t=B$, siendo

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& 2\\ -1& -1& 0\end{array}\right)\text{y}B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 3& 0& -1\end{array}\right)$

[2 puntos]

La incógnita aparece en los dos sumandos y siempre multiplicada por la derecha, así que se puede sacar factor común por la izquierda y reducir la ecuación a una sola multiplicación.

$XA+X{A}^t=B\Rightarrow X(A+A^t)=B$

Para despejar $X$ hay que multiplicar por la inversa de $A+A^t$ por la derecha, que es el lado por el que multiplica a la incógnita.

$A^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -1& 1& -1\\ 0& 2& 0\end{array}\right)\Rightarrow A+A^t=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ -1& 2& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$

Llamamos $S=A+A^t$ y comprobamos que es invertible:

$\mathrm{\mid }S\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ -1& 2& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\mid =0+1+1-2-2+0=-2\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{Adj}(S)=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& -1& -1\\ 1& -1& 3\end{array}\right)$

$S^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }S\mathrm{\mid }}}{[\mathrm{Adj}(S)]}^T=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& -1& -1\\ 1& -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -\frac{3}{2}\end{array}\right)$

(La matriz $S$ es simétrica, y por eso su adjunta también lo es.)

$X=B{S}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 3& 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -\frac{3}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 0\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$X(A+A^t)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ -1& 2& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 3& 0& -1\end{array}\right)=B$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 0\end{array}\right)$.