Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2025

Sea $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 1\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$.

a) Estudia si existen matrices columna no nulas $B$ y $C$ tales que

$\{\begin{array}{l}A\cdot B=-B,\\ A\cdot C=B-C\mathrm{.}\end{array}$

En caso afirmativo, calcula la expresión general de dichas matrices $B$ y $C$. [1,5 puntos]

b) Sea $D$ una matriz columna no nula tal que $A\cdot D=D$. Demuestra que también se cumple $A^{-1}\cdot D=D$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudia}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen}}\mathbf{\text{matrices}}\mathbf{\text{columna}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{nulas}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{tales}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cumplan}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{condiciones.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{general}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dichas}}\mathbf{\text{matrices}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las dos condiciones son ecuaciones matriciales que, pasando todo al primer miembro, se convierten en sistemas homogéneos o casi homogéneos. Empezamos por la primera, que solo involucra a $B$.

$A\cdot B=-B\Rightarrow A\cdot B+B=0\Rightarrow (A+I)\cdot B=0$

$A+I=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

Llamando $B={(b_1,b_2,b_3,b_4)}^t$, el sistema homogéneo que resulta es

$\{\begin{array}{l}2b_1+b_2=0\\ 2b_2=0\\ b_4=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{b}_2=0\\ b_1=0\\ b_4=0\end{array}$

La incógnita $b_3$ no aparece en ninguna ecuación, de modo que queda libre. Existen, por tanto, infinitas soluciones no nulas:

$B=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \beta \\ 0\end{array}\right),\beta \in \mathbb{R},\beta \mathrm{\ne }0$

Pasamos a la segunda condición, que ya no es homogénea porque en el segundo miembro aparece $B$:

$A\cdot C=B-C\Rightarrow A\cdot C+C=B\Rightarrow (A+I)\cdot C=B$

$\{\begin{array}{l}2c_1+c_2=0\\ 2c_2=0\\ c_4=\beta \\ 0=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{c}_2=0\\ c_1=0\\ c_4=\beta \end{array}$

La cuarta ecuación se reduce a $0=0$ precisamente porque la última componente de $B$ es nula, así que el sistema es compatible y $c_3$ vuelve a quedar libre:

$C=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \gamma \\ \beta \end{array}\right),\gamma \in \mathbb{R}$

Comprobamos el resultado en la segunda condición:

$A\cdot C=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -\gamma +\beta \\ -\beta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \beta \\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \gamma \\ \beta \end{array}\right)=B-C$

Sí existen matrices columna no nulas en esas condiciones: todas las de la forma anterior, con $\beta \mathrm{\ne }0$ para que $B$ no sea la matriz nula y $\gamma$ cualquier número real.



Para poder escribir $A^{-1}$ hay que asegurarse antes de que existe. La matriz $A$ es triangular por bloques y su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\cdot 1\cdot (-1)\cdot (-1)=1\mathrm{\ne }0$

luego $A$ es regular y tiene inversa. Partimos de la igualdad del enunciado y multiplicamos los dos miembros por $A^{-1}$ por la izquierda:

$A\cdot D=D$

$A^{-1}\cdot (A\cdot D)=A^{-1}\cdot D$

Por la propiedad asociativa del producto de matrices y por la definición de matriz inversa:

$(A^{-1}\cdot A)\cdot D=A^{-1}\cdot D\Rightarrow I\cdot D=A^{-1}\cdot D\Rightarrow D=A^{-1}\cdot D$

que es lo que había que demostrar. Nótese que el razonamiento no usa la expresión concreta de $D$: vale para cualquier matriz columna que cumpla $A\cdot D=D$, y lo único imprescindible es que $A$ sea regular.