Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Considere la matriz $A=\left(\begin{array}{cccc}a& 1& 1& 0\\ 1& -1& 0& 2\\ 0& -2& 1& 0\\ 1& 1& a& 3\end{array}\right)$ en función del parámetro $a\in \mathbb{R}$. Razone cuál es el rango de $A$. [2,5 puntos]

$\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[2,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La matriz es cuadrada de orden $4$, así que su rango es $4$ siempre que su determinante no se anule. Empezamos, pues, calculándolo; lo desarrollamos por la cuarta columna, que solo tiene dos elementos no nulos.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cccc}a& 1& 1& 0\\ 1& -1& 0& 2\\ 0& -2& 1& 0\\ 1& 1& a& 3\end{array}\mid =2\mid \begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 0& -2& 1\\ 1& 1& a\end{array}\mid +3\mid \begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& -1& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\mid$

Los dos menores de orden tres valen

$\mid \begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 0& -2& 1\\ 1& 1& a\end{array}\mid =-2a^2+1+0+2-a-0=-2a^2-a+3$

$\mid \begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& -1& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\mid =-a+0-2+0-0-1=-a-3$

y sustituyendo:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2(-2a^2-a+3)+3(-a-3)=-4a^2-5a-3$

Igualamos el determinante a cero para localizar los valores conflictivos del parámetro.

$-4a^2-5a-3=0\Rightarrow 4a^2+5a+3=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{25-48}}{8}}$

$\mathrm{\Delta }=25-4\cdot 4\cdot 3=-23<0$

El discriminante es negativo, de modo que la ecuación no tiene ninguna raíz real: no hay ningún valor real del parámetro que anule el determinante. Se ve además el signo, porque al ser $\mathrm{\Delta }<0$ y el coeficiente principal $-4<0$, la parábola queda entera por debajo del eje:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-4a^2-5a-3<0\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}$

Como $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ cualquiera que sea $a$, las cuatro filas son linealmente independientes.

El rango de $A$ es $4$ para todo valor real del parámetro $a$; no hay ningún caso particular que discutir.