Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) Calcule $A^2$ y compruebe que es regular. [0,5 puntos]

b) Calcule la matriz inversa de $A^2$. [0,5 puntos]

c) Despeje $X$ en la ecuación matricial $A^{2}X+B=C$. [1 punto]

d) Calcule la matriz $X$ de orden $2\times 2$, que verifica $A^{2}X+B=C$. [0,5 puntos]

Multiplicamos la matriz por sí misma.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -3& 4\end{array}\right)$

Una matriz es regular cuando su determinante no se anula:

$\mathrm{\mid }{A}^2\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ -3& 4\end{array}\mid =4\mathrm{\ne }0$

$A^2$ es regular y, por tanto, tiene inversa.



Para una matriz de orden dos basta intercambiar la diagonal principal, cambiar de signo la secundaria y dividir por el determinante.

$(A^2{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{3}{4}& \frac{1}{4}\end{array}\right)$



Pasamos $B$ al otro miembro y multiplicamos por la inversa por la izquierda, que es el lado por el que $A^2$ multiplica a $X$.

$A^{2}X=C-B$

$(A^2{)}^{-1}{A}^{2}X=(A^2{)}^{-1}(C-B)\Rightarrow X=(A^2{)}^{-1}(C-B)$



Resolvemos primero la resta.

$C-B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{3}{4}& \frac{1}{4}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$A^{2}X+B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 1\end{array}\right)=C$