Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Considere las siguientes matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 2& 0& 3\\ 2& 1& -1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 2& 1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 1\\ 3& -1& 2\end{array}\right)$.

a) Calcule $A^t$, donde $A^t$ denota la traspuesta de la matriz $A$. [0,5 puntos]

b) Calcule $(3B-2C)(A^t-I)$, donde $I$ es la matriz identidad de dimensión $3\times 3$. [2 puntos]

La traspuesta se obtiene cambiando filas por columnas.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 2& 0& 3\\ 2& 1& -1\end{array}\right)\Rightarrow A^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ -1& 0& 1\\ 0& 3& -1\end{array}\right)$



Antes de multiplicar comprobamos que las dimensiones encajan: $B$ y $C$ son $2\times 3$, luego $3B-2C$ también lo es, y $A^t-I$ es $3\times 3$. El producto está definido y será una matriz $2\times 3$.

Resolvemos primero los dos paréntesis por separado.

$3B-2C=3\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 2& 1\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 1\\ 3& -1& 2\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}6& 3& 0\\ -3& 6& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}-2& 4& 2\\ 6& -2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}8& -1& -2\\ -9& 8& -1\end{array}\right)$

$A^t-I=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ -1& 0& 1\\ 0& 3& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 2\\ -1& -1& 1\\ 0& 3& -2\end{array}\right)$

Multiplicamos ahora fila por columna.

$(3B-2C)(A^t-I)=\left(\begin{array}{ccc}8& -1& -2\\ -9& 8& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 2\\ -1& -1& 1\\ 0& 3& -2\end{array}\right)$

Elemento a elemento, la primera fila da

$(0+1+0,16+1-6,16-1+4)=(1,11,19)$

y la segunda

$(0-8+0,-18-8-3,-18+8+2)=(-8,-29,-8)$

$(3B-2C)(A^t-I)=\left(\begin{array}{ccc}1& 11& 19\\ -8& -29& -8\end{array}\right)$